知识点六(重积分)

1441．二重积分（1）求二重积分的一般步骤为①画出积分区域的草图D，并写出积分域；②根据积分区域与被积函数的特点选取适当的坐标系.一般地，当二重积分的被积函数22,yfxyxyx中含有或等因子时，以及积分域为以原点为中心的圆域、扇域，或过原点而中心在坐标轴上的圆域，利用极坐标来计算往往会更加简便；③根据积分区域与被积函数的特点选取适当的积分次序.二重积分化为二次积分（也称累次积分）后，其本质是进行二次定积分的计算，对先积分的变量求定积分时，后积分的变量应视为一个常数.直角坐标系下定限口诀可归纳为：后积先定限，上限与下限，均应为常限；限内划条线，先交下限写，后交上限见.（2）注意根据积分区域D的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算.①如果D关于x轴对称，(,)fxy为y的奇（偶）函数，则10,(,)(,)(,),(,)2(,),(,)(,)(,),DDfxyyfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyyfxyfxy为的奇函数，即为的偶函数，即其中1D为D中0x的部分.②如果D关于y轴对称，(,)fxy为y的奇（偶）函数，则20,(,)(,)(,),(,)2(,),(,)(,)(,),DDfxyxfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyxfxyfxy为的奇函数，即为的偶函数，即其中2D为D中0y的部分.③如果D关于原点对称，(,)fxy为y的奇（偶）函数，则30,(,),(,)(,),(,)2(,),(,),(,)(,),DDfxyxyfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyxyfxyfxy为的奇函数，即为的偶函数，即其中3D为D中0x的部分，也可为D中0y的部分.④如果D关于直线yx对称，则145(,)(,)DDfxydxdyfyxdxdy.（3）被积函数为分段函数（包括绝对值函数、取极值函数）时，要利用积分区域的可加性，正确划分积分区域，以确定被积函数的表达式.2．三重积分（1）计算三重积分注意选择积分顺序问题：“先单后重”与“先重后单”积分法.回顾化成累次积分的顺序是先对某一个变量，例如z，做一次单积分，然后再做关于另外两个变量x与y的一个二重积分，即21,,,,ddddd,,dxyzxyzxyDfxyzxyzxyfxyzz其实，上式中的二重积分与单积分的次序是可以交换的，即可把它写成21,,dddd,,ddzccDfxyzxyzzfxyzxy其中zD是把z暂时固定，过点(0,0,)z且垂直于zz轴的平面截域所得到的截面域.对后一个等式我们可以这样来理解，把等式的左端看作是以(,,)fxyz为密度的物质立体的质量，右端看作是把物质立体切成薄片，然后把所有薄片的质量相加.（2）根据积分域和被积函数的特点选择适当的坐标系.一般地，下列情形适用柱面坐标求三重积分：积分域的边界为圆柱面、圆锥面、旋转抛物面或投影域D为圆域，被积函数含有22yx的因子.而若积分域的边界为球面或圆锥面，)(,,222zyxzyxf，则利用球面坐标求三重积比较方便.但要记住：①化为柱面坐标时，要把zyxf,,换成cos,sin,fz，dddddddVxyzz；②化为球面坐标时，要把zyxf,,换成sincos,sinsin,cosfrrr，2dsindddVrr.（3）注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性计算三重积分.设(,,)fxyz在有界闭区域连续，若关于xy平面对称（(,,)(,,)xyzxyz），则14610,(,,)(,,)(,,),(,,)2(,,),(,,)(,,)(,,),fxyzzfxyzfxyzfxyzdVfxyzdVfxyzzfxyzfxyz为的奇函数，即为的偶函数，即其中1{|0}zz.若关于yz平面（或zx）平面，(,,)fxyz关于x（或y）为奇函数或偶函数有类似的结果.3.重积分的应用（1）几何方面的应用①求几何体的体积(,)dDVfxy，或dvV.②曲面的面积设曲面的方程为,,,,xyxoyzfxyDff且存在着连续的，则曲面的面积221()()ddxyDSffxy.其中曲面的面积元素22d1ddxySffxy.（2）物理方面的应用①求质量01平面薄片的质量(,)d,DMxy其中(,)xy是平面薄片在点(,)xy的面密度.02空间非均匀密度物体的质量为(,,)d.Mxyzv其中(,,)xyz是非均匀物体在点(,,)xyz处的密度.②求重心01平面薄片的重心坐标为(,)d(,)d,.(,)d(,)dyxDDDDxxyyxyMMxyMMxyxy其中(,)xy是平面薄片在点(,)xy的面密度.14702空间物体的重心111(,,)d,(,,)d,(,,)d,xxxyzvyyxyzvzzxyzvMMM其中(,,)xyz是非均匀物体在点(,,)xyz处的密度，(,,)dMxyzv③求转动惯量01平面薄片x轴和对y轴的转动惯量分别为22(,)d,(,)d.xyDDIyxyIxxy其中(,)xy是平面薄片在点(,)xy的面密度.02空间物体对三个坐标轴的转动惯量分别为222222()(,,)d,()(,,)d,()(,,)d.xyzIyzxyzvIzxxyzvIxyxyzv其中(,,)xyz是非均匀物体在点(,,)xyz处的密度.