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联赛题型解读之(三)——实数与根式一、“实数与根式”真题分值分析当有理数不足以满足大家的运算需求时,无理数就进入了我们学习的范围。实数和二次根式在初中阶段,既拥有实数赋予的性质,可以向绝对值、有理数定义、整除数论等方向进行拓展,也可以利用二次根式这特殊的代数结构承接了整式分式的部分特点,继续向方程函数进行拓展.下面我们通过统计近15年初中数学联赛中涉及实数或根式考点的分值(注:至少在结构和形式上是对根式的考察才会计入分值统计),帮助大家更好的了解实数与根式这个模块的考察比重.总体来看:历年对实数和根式的考察一般在7分到14分之间,意味着会在一试考察两道题左右,虽然近两年对纯根式的考察有所减少,但是结合近5年联赛题型风格:1、多知识点的融合;2、知识覆盖面广;3、变形构造等技巧性较低,所以作为考生,我们需要把每一个知识都牢牢抓在手里,以被不时之需。二、实数与根式的基本知识、性质与技巧大部分实数与根式问题有两个方向:一个是偏实数,往有理数,无理数,绝对值,非负性等方向;另一个是偏二次根式,此时会更多的结合代数式常见的变形技巧,如因式分解,乘法公式,平方,配方,配对,设中间量等方法。实数和二次根式作为有理数和整式分式的延续,也作为一元二次方程的预备知识,是初中知识体系的一个纽带,拥有承前启后的属性,掌握这一块对大家来说非常重要。1.实数的基本性质这里介绍常用一下实数的一些基本结论和性质(1)有理数与无理数a)有理数:可以表示为pq的形式,其中,1pq,且可q为正整数;用符号Q表示;b)无理数:不能表示为两个整数的商的形式的数;71414714147212171414140705101520253035404550近15年实数与根式考察分值c)实数:有理数和无理数构成了实数;用符号R表示;d)有理数和无理数铺满整个数轴;无理数比有理数要多;e)绝对值:0a,且ab表示数轴上的点a到点b的距离。(2)2为无理数a)23为无理数;b)如果有理数,pq满足20pq,则0pq;反之依然;c)有理数,,,abcd满足33abcd,则,acbd;d)设n为非负整数,则n为有理数,当且仅当n为完全平方数;进而n为整数;2.二次根式的基本性质与处理技巧(1)根式的基本性质a)a的双重非负性:0,0aa;b)公式:22;aaaa;(2)根式的常见处理技巧a)非负性根式的双重非负性,能分析清楚根式中的字母的范围。b)有理化:平方有理化;立方有理化;平方差有理化;立方差有理化;分母有理化有理化可以消去部分根式,将代数式的结构简化,甚至可以直接变成整式问题。c)换元换元也是一种简化根式的代数结构的处理办法,通常可以把问题直接转化为整式问题。d)配对:共轭根式;有理化根式利用共轭根式的和、差、积的性质,利用整式中的乘法公式等处理办法。e)配方配方思想在根式中也是基本的技巧。f)引入中间参数引入中间参数是代数中的常见技巧,在根式中也经常得到运用。三、联赛中实数与二次根式的考察方式这里我们将联赛中考察的所有实数与二次根式,依照试题的知识结构和难度,做了4大题型的分类,然后每个题型下又各有细小的分类。当然这里的分类仅限联赛考察过的题目,并不包含我们学习中遇见的所有的分式题型,比如连等分式等。那么接下来就让我们看看近20年联赛中,分式都考察了什么题型1、实数的问题(1)比较大小这里对比了一下2012年和2002年的两道题,相似度为99%.【例1】(2012年联赛)已知21a,32b,62c,那么,,abc的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bca【解析】C.因为121a,132b,所以110ab,故ba.又(62)(21)621ca,而22(6)(21)3220,所以621,故ca.因此bac.【例2】(2002年联赛)已知21a,226b,62c,那么a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.cbaD.cab(2)实数中的非负性【例3】(2010年联赛)若实数,,abc满足等式23||6ab,49||6abc,则c可能取的最大值为()A.0B.1C.2D.3【解析】可以解得9305324205caccb,所以c的最大可能值为2.(3)实数性质【例4】(1996年联赛)设正整数,,amn满足242amn,则这样的,,amn的取值()A.有一组B.有二组C.多于二组D.不存在【解析】将原式两边平方得到2422amnmn,由于amn,,都是正整数,所以28amnmn,.又mn,仅当81mn,时a为正整数.所以共有1组解.(4)高斯函数【例5】(2009年联赛)用x表示不大于x的最大整数,则方程2230xx的解的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】将方程变形得232xx,所以2312xxxx,所以13x或12x或12x,所以112x或123x,所以1,2,3x,带入得到1231,3,7xxx,故而一个有3个解。2、二次根式问题二次根式可以考察的问题比较多(1)化简求值【例6】(2000年竞赛)已知:333421a,那么23331aaa=________。【解析】可知321211a,所以3121a所以323331111211aaaa【例7】(1993年联赛)133334213999可以化简成()A.33321B.33321C.321D.321【解析】原式11121333313221931313313213212121.(2)二次根式的非负性二次根式的双重非负性,往往是一类二次根式问题的指路石,少量题目需要用到因式分解等知识。【例8】(2003年联赛)满足等式2003200320032003xyxyxyxy的正整数对()xy,的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】将2003移到等号左边并变形得到:200320030xyxy,所以20030xy,即2003xy,又2003是质数,所以共有2003x,1y;1x,2003y两组解.故选择B.(3)分母有理化【例9】(2004年联赛)计算111112233420032004________.【解析】将原式分母有理化得:原式122334200320042004125011(4)多重根式化简【例10】(2006联赛)设a,b为有理数,且满足等式36ab,1423,则ab的值为()A.2B.4C.6D.8【解析】因为614236113126333,所以333ab,即3130ab.由a、b为有理数,则3a,1b,即4ab.(5)整体【例11】(2009年联赛)设71a,则32312612aaa()A.24B.25C.4710D.4712【解析】A.由217a,有2226,62aaaa.于是3222312612362126261261212621224aaaaaaaaaaa(6)共轭根式【例12】(2008年联赛)已知实数x,y满足22200820082008xxyy,则223233xyxy2007的值为()A.2008B.2008C.1D.1.【解析】∵22200820082008xxyy,∴2222008200820082008xxyyyy,2222008200820082008yyxxxx,由以上两式可得xy.所以2220082008xx,解得22008x,所以22222323320073233200720071xyxyxxxxx.故选D.(7)连等根式【例13】(1996年联赛)设333199519961997xyz,0xyz,且3333333199519961997199519961997xyz,则111xyz________.【解析】设333199519961997xyzk,显然0k,所以:333199519961997kkkxyz,,,带入方程可得:3333333kkkkkkxyzxyz.即:333111111kkxyzxyz.∵0k,∴3111111xyzxyz.由已知可得0x,0y,0z,∴1111xyz.(8)最值问题在平面直角坐标系中距离的表达式需要用到二次根式,故而有一类二次根式结构的题目需要用到数形结合再转化到几何问题中求解。【例14】(2006年联赛)使224816xx取最小值的实数x取值为_________.【解析】83.在直角坐标系xOy中,设0,2A,8,4B,,0Px,有24PAx,2816PBx.则228610PAPBAB≥.当且仅当A、P、B三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A、P、B三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCPAOP△∽△,有2CPBCPOAO.从而,1833OPOC.故原式取最小值时,83x.整体来说:实数和根式中的题目,既有特色的的问题,也有结合乘法公式、轮换对称式之后的高度综合的题目,所以可以考察的题型较多,部分题目难度和技巧性较高。我们考试在准备分式类的题目时,一方面要抓住偏简单的分式特色的题目,同时也要巩固好整式的变形技巧、应付综合性较高的分式类题目。四、备战规划1、梳理实数与根式的基本知识点和性质.做少量实数与根式相关的题目,熟悉巩固相关的知识点和性质.2、梳理基本的实数与根式的处理技巧和常见题型这里我们梳理的四大类整式的基本考法,当然并非是可考察的分式的全部题型,但是基本包含了联赛中的主要考法以及数学思想,同学们可以使用如下几本书进行更全面的梳理和练习强化.专题篇推荐使用:《真题分类实训》,南山著,湖北长江出版集团,八年级实数章节16到22页,九年级根式章节1到10页;《大视野》九年级,黄东坡,湖北长江出集团,第一讲;冲刺篇推荐使用:《初中数学联赛考前辅导》,华东师范大学出版社,第1、3讲.3、必会由学而思竞赛团队精心汇编的《历年联赛真题_实数与根式》使用历年联赛真题汇编,可以更好的了解联赛的考试题型风格,重点应对与实数与根式相关的试题,建议备战的同学对分式的真题进行限时测验.4、把与实数和根式相关的题型进行扩充性训练,拓展知识面,丰富知识结构,同时进行错题整理,通过限时的方法查找和了解自己的问题.如果有问题,需要及时查缺补漏,积极和同学讨论,向老师提问,解答疑难问题.
本文标题:实数与根式-初中数学联赛题型解读系列(三)
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