解三角形题型总结(原创)

解三角形题型总结ABC中的常见结论和定理：一、内角和定理及诱导公式：1．因为ABC，所以sin()sin,cos()cos,tan()tanABCABCABC；sin()sin,cos()cos,tan()tanACBACBACB；sin()sin,cos()cos,tan()tanBCABCABCA因为,22ABC所以sincos22ABC，cossin22ABC，…………2．大边对大角3.在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.二、正弦定理：文字：在ABC中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。符号：RCcBbAa2sinsinsin公式变形：①CRcBRbARasin2sin2sin2(边转化成角）②RcCRbBRaA2sin2sin2sin（角转化成边）③CBAcbasin:sin:sin::④RCcBbAaCBAcba2sinsinsinsinsinsin三、余弦定理：文字：在ABC中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。符号：Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222变形：bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222四、面积公式：（1）12aSah（2）1()2Srabc（其中r为三角形内切圆半径）（3）111sinsinsin222SabCbcAacB五、常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知,,AB边c）解法：根据内角和求出角)(BAC；根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin求出其余两边,ab（2）已知两边和夹角（如已知Cba,,）解法：根据余弦定理2222coscababC求出边c；根据余弦定理的变形bcacbA2cos222求A；根据内角和定理求角)(CAB.（3）已知三边（如：cba,,）解法：根据余弦定理的变形bcacbA2cos222求A；根据余弦定理的变形acbcaB2cos222求角B；根据内角和定理求角)(BAC（4）已知两边和其中一边对角（如：Aba,,）（注意讨论解的情况）解法1：若只求第三边，用余弦定理：2222coscababC；解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin求B（可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）；再根据内角和定理求角)(BAC；.先看一道例题：例：在ABC中，已知030,32,6Bcb，求角C。（答案：045C或0135）六、在ABC中，已知Aba,,，则ABC解的情况为：法一：几何法（不建议使用）（注：表中，A为锐角时，若Abasin，无解；A为钝角或直角时，若ba，无解.法二：代数法（建议使用）通过例子说明步骤：大角对大边结合正弦定理一起使用（见题型一）题型总结：题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型模型：在ABC中，已知边ba,和角A,若不是求第三边c，用正弦定理。例1：在ABC中，已知045,2,2Aca，求∠C。（答案：030C）例2：在ABC中，已知030,32,6Bcb，求∠C。（答案：045C或0135）例3：在ABC中，已知030,22,2Bba，求∠A。（答案：无解）例4：（3）在ABC中，已知02,1,30abB，求∠A。（答案：一解）A为锐角A为钝角或直角图形关系式AbasinbaAbsinbaba解的个数一解两解一解一解练习：1。在ABC中，已知060,3,2Bba解三角形。2．在ABC中，已知045,3,23Ccb解三角形。3．在ABC中，已知060,4,3Aca解三角形。题型二、利用正弦定理解决“已知两角一边”的类型两角一边（两角一对边，两角一夹边）模型1：在ABC中，已知角BA,和边a,解三角形。模型2：在ABC中，已知角BA,和边c,解三角形。用正弦定理例题：例题1：在ABC中，已知2,45,3000aBA解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得000010575180)(180BAC，再根据正弦定理BbAasinsin，得2221222sinsinABab，再根据余弦定理Cabbaccos2222，得2022262348105cos2222222）（）（c，所以62c综上：62,22,1050cbC。例题2：在ABC中，已知32,45,7500aCB解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得000060120180)(180CBA，再根据正弦定理BbAasinsin，得622346232sinsinABab，再根据正弦定理CcAasinsin，得22232232sinsinACac。综上，22,62,600cbA。练习：1在ABC中，已知4,15,6000cCB解三角形。2在ABC中，已知6,60,4500bCA解三角形。题型三、利用余弦定理解决“已知两边一夹角”的类型模型：在ABC中，已知边ba,和角C,解三角形。用余弦定理例题1：在ABC中，已知060,2,1Cba解三角形。解析：根据余弦定理Cabbaccos2222，得32121221222c，所以3c，再根据余弦定理，得03122-312cos222222）（acbcaB，又因为001800B，所以090B，再根据内角和定理，得000030150180)(180CBA。综上，3,90,3000cBA。练习：1在ABC中，已知060,2,4Cba解三角形。题型四、利用余弦定理解决“已知三边”的类型模型：已知边cba,,解三角形。根据余弦定理，bcacbA2cos222，acbcaB2cos222，abcbaC2cos222，分别求得角CBA,,（或根据内角和定理求得角C)。例题1：在ABC中，已知32,4,2cba解三角形。解析：根据余弦定理，得2332422-3242cos222222）（bcacbA，又因为001800A，所以030A，再根据余弦定理，得032224-3222cos222222）（acbcaB，又001800B,所以090B,再根据三角形内角和定理，得000060120180)(180BAC。综上，00060,9030CBA，。练习：1在ABC中，已知226,3,2cba解三角形。题型五、利用余弦定理解决“已知两边一对角”的类型模型：在ABC中，已知边ba,和角A,若只求第三边c，用余弦定理。模型：在ABC中，已知边ba,和角A,若不是只求第三边c，用正弦定理。例题：例题1：在ABC中，已知045,2,2Aca，求边b。解析：根据余弦定理Abccbacos2222，得022245cos2222bb）（，既0222bb，解得31b或31b（舍去），练习：在ABC中，已知030,32,6Bcb，求边a。（答案：33a）题型六、三角形面积例1．在ABC中，sincosAA22，AC2，3AB，求Atan的值和ABC的面积。解：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22①21(sincos)212sincos20180,sin0,cos0.1(sin2)2AAAAAAAA另解23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62②①+②得sinA264，①－②得cosA264。从而sin264tan23cos426AAA。SACABAABC1212232643426sin()以下解法略去。练习1．在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos23cos1ABC.(I)求角A的大小;(II)若ABC的面积53S,5b,求sinsinBC的值.解:(I)由已知条件得:cos23cos1AA22cos3cos20AA,解得1cos2A,角60A(II)1sin532SbcA4c,由余弦定理得:221a,222228sinaRA25sinsin47bcBCR练习2.已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC，所以60C．练习3．在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；（Ⅱ）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．联立方程组2244ababab，，解得2a，2b．（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，①当cos0A时，2A，6B，433a，233b，②当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，，解得233a，433b．所以ABC△的面积123sin23SabC．题型七：看到“a2=b2+c2－bc”想到余弦定理例1：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知2bac，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及cBbsin的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。解法一：∵b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA=bcacb2222=bcbc2=21，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=aAbsin，∵b2=ac，∠A=60°，∴acbcBb60sinsin2=sin60°=23。解法二：在△ABC中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴cBbsin=sinA=23。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状——边角互化问题例1.在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由CBAsincossin2＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．解法2：由题意，得cosB