工程力学(天津大学)第15章答案

第十五章压杆稳定第十五章压杆稳定思考题15−1在§15−2中对两端铰支细长压杆，按图a所示的坐标系及挠曲线形状，推导出了欧拉公式22rclEIπF试问如分别取图b，c，d所示的坐标系及挠曲线形状时，挠曲线微分方程及所得到的Fcr公式与图a情况下得到的结果是否相同？15−2欧拉公式在什么范围内适用？如果把中长杆误认为细长杆应用欧拉公式计算其临界力，会导至什么后果？15−3图示8种截面形态的细长压杆，如果各方向的支承条件相同，问压杆失稳时会在哪个方向弯曲？FcrlyxFcryxFcryxFcryx(a)(b)(c)(d)思考题15−1图思考题15−3图第十五章压杆稳定15−4两根压杆的材料、长度与杆端的支承条件均相同，横截面面积也相同，但其中一个为圆形截面，另一个为正方形截面，问哪一根杆能够承受的压力较大？15−5若两根压杆的材料相同且柔度相等，这两根压杆的临界应力是否一定相等，临界力是否一定相等？15−6由两个型号相同的不等边角钢组成的中心受压杆件，有下面两种布置方案，在两端约束条件相同的情况下，哪种布置合理，为什么？17−7与上题类似由两个型号相同的等边角钢组成的中心受压杆件，图中的两种布置方案，哪种布置合理，为什么？15−8为什么在选择压杆的截面时，必须采用试算方法？习题15−1图示各杆的材料和截面均相同，试问哪根杆能够承受的压力最大，哪根最小？解：对于材料和截面面积均相同的压杆，柔度λ越大，临界力Fcr越小，因而压杆越容易失稳，亦即能够承受的压力最小。根据il，由于各杆的截面均相同，因此只需比较各杆的计算长度l即可（a）ml551（b）ml9.477.0F5m(a)F7m(b)F9m(c)2mF(d)F8m(e)F5m5m(f)习题15−1图(a)(b)思考题15−7图(a)思考题15−6图(b)第十五章压杆稳定（c）ml5.495.0（d）ml422（e）ml881（f）上、下两段分别计算，临界力应取较小者，而计算长度l应取较大者上段ml5.255.0下段ml5.357.0经比较可得，杆（f）能够承受的压力最大，杆（e）能够承受的压力最小。15−2图示平面桁架各杆均为细长杆，弹性模量均为E，横截面积均为A，截面惯性矩均为I。(1)若在点A与C上作用一对向外的拉力F，如图a所示;(2)若在点A与C上作用一对向内的压力F，如图b所示;试求结构达到临界状态时的最小荷载.解：(1)取节点A为研究对象，其受力图如(c)所示，列出平衡方程045sin45sin045cos45cos0N401N04N01NFFFFF解得)(22N41N拉FFF再取节点B为研究对象，其受力图如(d)所示，列出平衡方程045cos45cos045sin45sin0N40N1N50N102NFFFFF习题15−2图FFN1FN4A(c)FN1FN2FN5B(d)AFFN4FN1(e)FN2FN1BFN5(f)aaBADCFF(a)12543FFaaBADC(b)12543第十五章压杆稳定解得)(2)(22N1N52N1N压拉FFFFFF杆5的临界压力为2222rc,5N22aEIaEIF结构的临界荷载取决于杆5的临界压力，其值为22rc,5Nrc2aEIFF(2)用同样的方法可以求得)(2)(22N1N5N43N2N1N拉压FFFFFFFF杆1－4的临界压力为22rc,1NaEIF结构的临界荷载取决于杆1－杆4的临界压力，其值为22rc,1Nrc22aEIFF15−3如图所示的压杆，由100×100×10等边角钢制成，材料为Q235钢，试求该压杆的临界力。解：首先计算压杆的柔度il由于压杆失稳时将绕轴转动，因此式中的i应取对轴的惯性半径，即i=1.96cm86.421096.12.17.02可见此压杆属于小柔度杆，不能使用欧拉公式计算临界力。现采用抛物线型经验公式计算临界应力MPa7.22212386.4243.0123512csrc由此可得压杆的临界力y0y0F1.2m习题15−3图xxx0x0y0y0y0第十五章压杆稳定kN9.428N109.42810261.19107.222346rcAFs15−4一矩形截面木质压杆，在xz平面内为两端固定，在xy平面内为下端固定上端自由。已知l=4m，b=120mm，h=200mm，木材的弹性模量E=10GPa，λp=59。问当压力F逐渐增大时，压杆将在哪个平面内失稳，并计算压杆的临界力。解：由于压杆在xy平面与xz平面内的支承情况不同，因此压杆在两个平面内的柔度也不同，压杆在柔度大的平面内失稳(1)压杆若在xz平面内失稳mm6.34121201212/3bbhhbAIiyy8.57106.3445.031yyil(2)压杆若在xy平面内失稳mm7.57122001212/3hbhbhAIizz6.138107.574232zzil由于yz，因此当压力F逐渐增大时，压杆将在xy平面内失稳，压杆的临界力为kN123N101234212/1020012010103212392222rclEIFz15−5图示结构中BC为圆截面杆，其直径d=80mm，AC为边长a=70mm的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定，B、C为球铰。两杆材料均为Q235钢，弹性模量E=210GPa，可各自独立弯曲而互不影响。若结构的稳定安全系数nst=2.5，试求所能承受的许用压力。解：可分别计算BC杆和CA杆的许用压力，两者较小值即为结构所能承受的许用压力。两杆材料均为Q235钢，两杆的轴力均为F(1)BC杆为两端铰支的圆截面压杆，截面的惯性半径为mm2048044/64/24dddAIiBCBCBC其柔度为xlFbhzy习题15−4图zF2m3maa习题15−5图dABC第十五章压杆稳定p10002.021BCBCBCBCil因此可以用欧拉公式计算临界力kN1042N1010422164/08.0102103249222rc,BCBCBCBClEIF由此可得kN4175.21024rc,stBCnFF(2)CA杆为一端固定一端铰支的正方形截面压杆，截面的惯性半径为mm2.2012701212/24aaaAIiCACACA其柔度为p1040202.037.0CACACACAil因此可以用欧拉公式计算临界力kN4.940N104.94037.012/07.0102103249222rc,CACACACAlEIF由此可得kN3765.24.940rcA,stCnFF因此kN376F15−6柱的下端固定，上端铰支，柱长l=6m，柱由两根28a号槽钢组成，[σ]=160MPa。(1).当两槽钢的腹板固结在一起而形成工字形截面时，试求柱的许用荷载[F]；(2).若支承、长度及槽钢型号均不改变，如何提高柱的许用荷载，试求许用荷载的最大值。Fl习题15−6图第十五章压杆稳定15−7图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径及所用的材料均相同，且二杆均为大柔度肝。试问：当F从零开开始逐渐增大时，哪个杆首先失稳？15−8图示托架中AB杆的直径d=40mm，长度l=800mm，两端可视为铰支，材料为Q235钢，σs=240MPa。(1)试求托架的临界荷载；(2)若已知F=70kN，AB杆的稳定安全系数规定为2，而CD梁确保安全，试问此托架是否安全？15−9图示三角架中，BC为圆截面杆，材料为Q235钢，已知F=12kN，a=1m，d=40mm，材料的许用应力[σ]=170MPa，试(1)校核BC杆的稳定。(2)从BC杆的稳定考虑，求此三角架所能承受的最大安全荷载。15−10图示结构中AD为铸铁圆杆，直径d1=60mm，许用压应力[σc]=120MPa，BC杆为Q235钢圆杆，直径d2=10mm，[σ]=160MPa，试求许用分布荷载[q]。15−11图示结构的CD梁上作用有均布荷载q=50kN/m，撑杆AB为圆截面木杆，两端铰支，木材的许用压应力[σ压]=11MPa，试求撑杆AB所需的直径d。FAddhBC45°30°习题15−7图600300Fl习题15−8图CDBAd45°45°daFACB习题15−9图C1.5m1.5m3mABD习题15−10图q习题15−12图AFBCDlllAB0.8mqC2.4m1.8mD习题15−11图d第十五章压杆稳定15−12图示结构中三杆均为16Mn钢圆杆，直径均为d，弹性模量为E，26dl。因变形微小，故可认为压杆受力达到Fcr后，其承载能力不能再提高。试求结构所受荷载F的极限值Fmax。15−13图示结构中CF为铸铁圆杆，直径d1=100mm，许用压应力[σc]=120MPa，BE为Q235钢圆杆，直径d2=50mm，[σ]=160MPa，横梁ABCD可视为刚体，试求结构的许用荷载[F]。已知E铁=120GPa，E钢=200GPa。15−14一支由4根80mm×80mm×6mm等边角钢组成，如图所示。支柱的两端为铰支，柱长l=6m，承受压力450kN，材料为Q235钢，强度许用应力[σ]=160MPa，试求支柱截面边长a的尺寸。15−15钢屋架如图所示，上部各结点处荷载均为F=30kN，屋架的上弦杆用两个等边角钢组成，连接两角钢的铆钉孔直径d=23mm，材料的许用应力[σ]=160MPa，试选择CD杆的截面。15−16图示结构中的AB梁用16号工字钢制成，CD杆为圆钢，直径d=60mm，已知材料的弹性模量E=205GPa，屈服极限σs=275MPa，中柔度杆的临界应力σcr=338–1.21λ，λp=90，λs=50，强度安全系数n=2，稳定安全系数nst=3，试求荷载F的容许值。FA习题15−13图2m2m2m2m2mBCDEFaa习题15−14图Fd1m1m1m习题15−16图ABC习题15−15图FFABCDFd第十五章压杆稳定答案15−1图f所示杆的临界力最大，因而能够承受的压力最大，图e所示杆的临界力最小，因而能够承受的压力最小。15−222222)2(2)1(aEIaEI15−3Fcr=2180kN14−4压杆将在xy平面内失稳，Fcr=213kN15−5[F]=378kN15−6(1)489kN(2)1190kN15−7AC杆先失稳15−8(1)109kN(2)不安全15−9(1)BC杆满足稳定条件(2)[F]=51.8kN15−10[q]=5.59kN/m15−11d=180mm15−1224364221ldE15−13[F]=180kN15−14a=192mm15−152∟75×75×515−16[F]=51.5kN