2019年高中人教A版数学选修1-1练习：第三章-导数及其应用-习题课3.2-(附答案解析)

2019年高中人教A版数学选修1-1练习习题课——导数运算及几何意义的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.(2016东北育才学校期中考试)已知奇函数f(x)满足f'(-1)=1,则-=()A.1B.-1C.2D.-2解析:由f(x)为奇函数,得f(1)=-f(-1),所以-=---=f'(-1)=1,故选A.答案:A2.(2016四川绵阳高二月考)若曲线f(x)=x3+x2+mx的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于()A.2B.0C.0或2D.3解析:依题意,只有一条切线的斜率等于1,又f'(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一个实数根,于是Δ=4-4(m-1)=0,解得m=2.答案:A3.已知f(x)=+4x,则f'(1)=()A.1B.4C.2D.-1解析:因为f(x)=+4x,所以f'(x)=-+4.因此f'(1)=-+4,解得f'(1)=2.答案:C4.经过点(3,0)的直线l与抛物线y=的两个交点处的切线相互垂直,则直线l的斜率k等于()A.-B.-C.D.-解析:设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x-3),设直线l与抛物线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由{-得x2-2kx+6k=0,所以x1x2=6k.又对y=求导有y'=x,所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为x1,x2,于是有x1x2=6k=-1,所以k=-.答案:A5.(2016山西朔州高二月考)观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,可推得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:由已知可以看出:奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.答案:D6.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在()上不是凸函数的是()A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x解析:若f(x)=sinx+cosx,则f″(x)=-sinx-cosx,在()上,恒有f″(x)0;若f(x)=lnx-2x,则f″(x)=-,在()上,恒有f″(x)0;若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在()上,恒有f″(x)0;若f(x)=-xe-x=-,则f'(x)=-,f″(x)=-.在()上,恒有f″(x)0,故选D.答案:D7.(2016惠州一中月考)已知函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0,则f(2)+f'(2)=.解析:切线2x+y-3=0的斜率为-2,所以f'(2)=-2.又切点在切线上,所以2×2+y-3=0.因此y=f(2)=-1,故f(2)+f'(2)=-1+(-2)=-3.答案:-38.已知a=-,b=--,c=-,d=--,e=--,则a,b,c,d,e中有相等关系的是.解析:容易推得c=d,又在e=--中,若令x-x0=Δx,则该式可化为e=---,所以a=e,因此具有相等关系的是c=d,a=e.答案:c=d,a=e9.在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线的方程为.解析:由导数的几何意义知,曲线y=x3+3x2+6x-10上每一点处的切线的斜率等于函数f(x)=x3+3x2+6x-10在该点处的导数,因此曲线切线的斜率k=f'(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3,当x=-1时斜率取到最小值3,此时,切点为(-1,-14),切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.答案:3x-y-11=010.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.解:因为y=x2+1,所以y'=2x.设切点为(t,t2+1),所以切线斜率为y'|x=t=2t,于是切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t),将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)0,解得a2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是a2.二、B组1.(2016河北承德高二月考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1,则实数a的值为()A.1B.-1C.-D.2解析:∵f(1)=0,∴直线l过点(1,0).∵f'(x)=,∴f'(1)=1.∴直线l的方程为y=x-1.∵g(x)=x2+a,∴g'(x)=x.设直线l与函数g(x)的图象的切点的横坐标为x0,由导数的几何意义,可知g'(x0)=x0=1,将x0=1代入直线l的方程,可得切点的纵坐标为0,即切点为(1,0),将其代入g(x)=x2+a,可得a=-.故选C.答案:C2.设f'(x)是函数f(x)(x0)的导函数,且满足xf'(x)+2f(x)=,f(1)=1,则f(x)的解析式为()A.f(x)=(x0)B.f(x)=lnx+1(x0)C.f(x)=+1(x0)D.f(x)=+1(x0)解析:∵xf'(x)+2f(x)=,∴x2f'(x)+2xf(x)=.∵[x2f(x)]'=x2f'(x)+2xf(x),∴可设[x2f(x)]'=(lnx+c)',即f(x)=.又f(1)=1,∴c=1.∴f(x)=(x0).答案:A3.已知f(x)=,f1(x)=f'(x),f2(x)=[f1(x)]',…,fn+1(x)=[fn(x)]',n∈N*,经计算得f1(x)=-,f2(x)=-,那么f3(x)=,根据以上计算所得规律,可推出fn(x)=.解析:f3(x)=---;f4(x)=----,类比可得fn(x)=--.答案:---4.(2016中山一中测试)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为.解析:∵y'|x=1=n+1(n∈N*),∴曲线在点(1,1)处的切线为y-1=(n+1)(x-1)(n∈N*),令y=0,得x=xn=(n∈N*),∴an=lg(n∈N*),∴a1+a2+…+a99=lg+lg+…+lg=lg(…)=lg=-2.答案:-25.已知f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(abc),试证明方程f'(x)=0必有两个实数根.证明:法一:因为f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)[(x-b)(x-c)],所以f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)[(x-b)(x-c)]'=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b).令g(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-a)·(x-c),因为abc,所以有g(a)=(a-b)(a-c)0,g(b)=(b-a)(b-c)0,g(c)=(c-a)(c-b)0,根据函数零点的性质知,函数g(x)在区间(b,a)和(c,b)内各有一个零点,故原方程有两个实根,且一个大于b,另一个小于b.法二:∵f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc,∴f'(x)=3x2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac).Δ=[-2(a+b+c)]2-4×3×(ab+bc+ac)=4[(a+b+c)2-3(ab+bc+ac)]=4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=2[(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ac)]=2[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],∵abc,∴Δ0恒成立.∴方程f'(x)=0必有两个实数根.6.导学号59254043设函数f(x)=ax-,曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)在任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.(1)解:方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f'(x)=a+,于是{-解得{故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+,知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=()(x-x0),即y-(-)()(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(-).令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为||·|2x0|=6.故曲线y=f(x)在任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.