求轨迹方程方法总结

1高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法.u.c.o.m当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.例1已知点)0,2(A、).0,3(B动点),(yxP满足2xPBPA，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：),3(),,2(yxPByxPA，2)3)(2(yxxPBPA226yxx.由条件，2226xyxx，整理得62xy，此即点P的轨迹方程，所以P的轨迹为抛物线，选D.例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有MQMN，即MQONMO22，2222)2(1yxyx．整理得0)41(4)1()1(222222xyx，这就是动点M的轨迹方程．若1，方程化为45x，它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2222222)1(3112yx）－（，它表示以)0,12(22为圆心，13122为半径的圆．二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若bca,,依次构成等差数列，且bca，2AB，求顶点C的轨迹方程.解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意，bca,,构成等差数列，bac2，CByxOA2即4||2||||ABCBCA，又CACB，C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2ca，3b，故C的轨迹方程为)2,0(13422xxyx.例3若动圆与圆4)2(22yx外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A）012122xy（B）012122xy（C）082xy（D）082xy【解析】：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122xy．选（B）．例4一动圆与两圆122yx和012822xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆【解析】：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有.1,2,1MOMCrMCrMO动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为点差法。例3抛物线24yx焦点弦的中点轨迹方程是。设弦端点1122(,),(,)AxyBxy，AB中点为(,)Mxy，则21122244yxyx1212124yyyyxx因为12121221yyyyyyxxx所以22(1)yx四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4已知点)2,3(A、)4,1(B，过A、B作两条互相垂直的直线1l和2l，求1l和2l的3交点M的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点)1,1(，半径为25221AB，方程为13)1()1(22yx.故M的轨迹方程为13)1()1(22yx.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标yx,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到yx,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5过抛物线pxy22（0p）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.解：设),(yxM，直线OA的斜率为)0(kk，则直线OB的斜率为k1.直线OA的方程为kxy，由pxykxy22解得kpykpx222，即)2,2(2kpkpA，同理可得)2,2(2pkpkB.由中点坐标公式，得pkkpypkkpx22，消去k，得)2(2pxpy，此即点M的轨迹方程.例5设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且12ttOQOP，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解析】：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞babxay由题意得,,122tbaba解得.11.122222tbtta所以椭圆方程为222222)1()1(tytxtt．(2)设点),,(),,(11yxQyxP解方程组,,)1()1(1122122122txytytxtt得4.)1(2,)1(212121ttytx由12ttOQOP和1xxOQOP得,2,2,2222tytxtytx或其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为)22(222xyx和)22(222xyx．其轨迹为抛物线yx222在直线22x右侧的部分和抛物线yx222在直线22x在侧的部分．六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6如右图，垂直于x轴的直线交双曲线12222byax于M、N两点，21,AA为双曲线的左、右顶点，求直线MA1与NA2的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设),(yxP及),(),,(1111yxNyxM，又)0,(),0,(21aAaA，可得直线MA1的方程为)(11axaxyy①；直线NA2的方程为)(11axaxyy②.①×②得)(22221212axaxyy③.又,1221221byax)(2122221xaaby，代入③得)(22222axaby，化简得12222byax，此即点P的轨迹方程.当ba时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当ba时，点P的轨迹是椭圆.例6已知两点)2,0(),2,2(QP以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．xA1A2OyNMP5【解析】：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设)1,1(),,(ttBttA，则PA：),2)(2(222txttyQB：).1(112txtty消去t，得.082222yxyx当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是.0822222yxxyx七、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标yx,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例7如图，从双曲线1:22yxC上一点Q引直线2:yxl的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解：设),(),(11yx，QyxP，则)2,2(11yyxxN.因为N在直线l上，.22211yyxx①又lPN得,111xxyy即011xyyx.②联解①②得22322311xyyyxx.又点Q在双曲线C上，1)223()223(22xyyx，化简整理得：01222222yxyx，此即动点P的轨迹方程.例2已知抛物线12xy，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解析】：设),(),,(11yxByxP，由题设，P分线段AB的比2PBAP，∴.2121,212311yyxx解得2123,232311yyxx.又点B在抛物线12xy上，其坐标适合抛物线方程，∴.1)2323()2123(2xy整理得点P的轨迹方程为),31(32)31(2xy其轨迹为抛物线．yQOxNP