第七章应力状态习题答案

1第七章应力状态习题解答7.3在题7.3图所示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的单位为MPa。解（a）如题7.3图（a）所示。xσ＝70MPa，yσ＝－70MPa，xyτ＝0，α＝30°(1）解析法70707070cos2sin2cos600352222xyxyxyMPaMPaασσσσσατα+−−+⎛⎞=+−=+−=⎜⎟⎝⎠D7070sin2cos2sin60060.622xyxyMPaMPaασστατα−+⎛⎞=+=+=⎜⎟⎝⎠D(2）图解法作Oστ坐标系，取比例1cm=70MPa，由xσ、xyτ定xD点，yσ、xyτ定yD，点，连xD、yD交τ轴于C点，以C点为圆心，CxD为半径作应力圆如题7,3图（al）所示。由CxD起始，逆时针旋转2a＝60°得Dα，点。从图中可量得Dα点的坐标，便是ασ和ατ值。(b）如题7.3图（b）所示。xσ＝70MPa，yσ＝70MPa，xyτ＝0，α＝300°(1）解析法70707070cos2sin2cos600702222xyxyxyMPaMPaασσσσσατα+−+−⎛⎞=+−=+−=⎜⎟⎝⎠D27070sin2cos2sin600022xyxyMPaασστατα−−⎛⎞=+=+=⎜⎟⎝⎠D(2）图解法作应力圆如题7.3图（b,）所示。从图中可量得点的坐标，此坐标便是ασ和ατ数值．由题7.3图（b1）可知应力圆蜕化为点C。（c）如题7.3图（b1）所示。xσ＝100MPa，yσ＝50MPa，xyτ＝0，α＝60°(1）解析法1005010050cos2sin2cos1200222262.5xyxyxyMPaMPaασσσσσατα+−+−⎛⎞=+−=+−⎜⎟⎝⎠=D10050sin2cos2sin120021.722xyxyMPaMPaασστατα−−⎛⎞=+=+=⎜⎟⎝⎠D(2）图解法作应力圆如题7.3图（cl）所示。从图中可量得Dα点的坐标，此坐标便是ασ和ατ数值。(d）如题7.3图（d）所示。xσ＝－50MPa，yσ＝100MPa，xyτ＝0，α＝150°(1）解析法5010050100cos2sin2cos300222212.5xyxyxyMPaMPaασσσσσατα+−−+−−⎛⎞=+−=+⎜⎟⎝⎠=−D50100sin2cos2sin30006522xyxyMPaMPaασστατα−−−⎛⎞=+=+=⎜⎟⎝⎠D(2）图解法作应力圆如题7.3图（d1）所示。从图中可量得Dα点的坐标，此坐标便是ασ和ατ数值。37.4已知应力状态如题7.4图所示，图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求：(l）主应力大小，主平面位置；(2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3）最大切应力。解（a）如题7.4图（a）所示。xσ＝50MPa，yσ＝0，xyτ＝20MPa(1）解析法222max2min575005002072222xyxyxyMPaMPaMPaσσσσστσ⎡⎤+−⎛⎞⎫⎧+−⎛⎞⎛⎞⎢⎥=±+=±+=⎬⎨⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎩⎭⎝⎠⎣⎦按照主应力的记号规定1σ＝57MPa，2σ＝0，3σ＝－7MPa02220tan20.8500xyxyτασσ−×=−==−−−，0α＝－19.3°13max57(7)3222MPaMPaσστ−−−===(2）图解法4作应力圆如题7.4图（a1）所示。应力回与σ轴的两个交点对应着两个主应力1σ、3σ：的数值。由xCD，顺时针旋转02α，可确定主平面的方位。应力圆的半径即为最大切应力的数值．主应力单元体如题7.4图（a2）所示。(b）如题7.4图（b）所示。xσ＝50MPa，yσ=0,xyτ＝－20MPa(1）解析法()222maxmin575005002072222xyxyxyMPaMPaMPaσσσσστσ⎡⎤+−⎛⎞⎫⎧+−⎛⎞⎢⎥=±+=±+−=⎬⎨⎜⎟⎜⎟−⎢⎥⎝⎠⎩⎭⎝⎠⎣⎦按照主应力的记号规定1σ＝57MPa，2σ＝0，3σ＝－7MPa()02220tan20.8500xyxyτασσ−×−=−==−−−，0α＝19.3°13max57(7)3222MPaMPaσστ−−−===作应力园如题7.4图（b1）所示。应力图与σ轴的两个交点的坐标即是主应力1σ、3σ的数值．由xCD，顺时针旋转02α，可确定主平面的方位。xCD的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题7.4图（c2）所示。5(d）如题7.4图（d）所示。xσ＝－40MPa，yσ=－20MPa,xyτ＝－40MPa(1）解析法()222maxmin11.2402040204071.22222xyxyxyMPaMPaMPaσσσσστσ⎡⎤+−⎛⎞⎫⎧−−−+⎛⎞⎢⎥=±+=±+−=⎬⎨⎜⎟⎜⎟−⎢⎥⎝⎠⎩⎭⎝⎠⎣⎦按照主应力的记号规定1σ＝11.2MPa，2σ＝0，3σ＝－71.2MPa()02240tan244020xyxyτασσ−×−=−==−−−+，0α＝38°13max11.2(71.2)41.222MPaMPaσστ−−−===(2）图解法作应力圆如题7.4图（d1）所示。应力圆与σ轴的两个交点的坐标，即是1σ、3σ的数值。由xCD，顺时针旋转02α，可确定主平面的方位。xCD的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题7.4图（d2）所示。6(e）如题7.4图（e）所示。xσ＝0，yσ=－80MPa,xyτ＝20MPa(1）解析法22max2min4.70800802084.72222xyxyxyMPaMPaMPaσσσσστσ⎡⎤+−⎛⎞⎫⎧−+⎛⎞⎢⎥=±+=±+=⎬⎨⎜⎟⎜⎟−⎢⎥⎝⎠⎩⎭⎝⎠⎣⎦按照主应力的记号规定1σ＝4.7MPa，2σ＝0，3σ＝－84.7MPa02220tan20.5080xyxyτασσ−×=−==−−+，0α＝－13.3°13max4.784.744.722MPaMPaσστ−+===(2）图解法作应力圆如题7.4图（e1）所示。应力圆与σ轴的两个交点的坐标即是主应力1σ、3σ7的数值。由xCD，顺时针旋转02α，可确定主平面的方位。xCD的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题7.4图（e2）所示。(f）如题7.4图（f）所示。xσ＝－20MPa，yσ=30,xyτ＝20MPa(1）解析法22max2min372030203020272222xyxyxyMPaMPaMPaσσσσστσ⎡⎤+−⎛⎞⎫⎧−+−−⎛⎞⎢⎥=±+=±+=⎬⎨⎜⎟⎜⎟−⎢⎥⎝⎠⎩⎭⎝⎠⎣⎦按照主应力的记号规定1σ＝37MPa，2σ＝0，3σ＝－27MPa02220tan20.82030xyxyτασσ−×=−==−−−−，0α＝－19.3°13max37273222MPaMPaσστ−+===(2）图解法作应力圆如题7.4图（f1）所示。应力圆与σ轴的两个交点的坐标即是主应力1σ、3σ的数值。由xCD，顺时针旋转02α，可确定主平面的方位。xCD的长度即为最大切应力的数值。主应力单元体如题7.4图（f2）所示。7．14在通过一点A的两个平面上，应力如题7。14图（a）所示，单位为MPa。试求主应力的数值及主平面的位置，并用单元体的草图表示出来。8解在题7。14图（b）中，斜截面AC与x平面的夹角175a=。，其上的应力1195,253aaMPaMPaστ=＝。斜截面AB与x平面的夹角2105a=。，其上应力225,253aaMPaMPaστ=＝4。将这些数据代入斜截面上应力公式中，对AB斜截面有cos210sin2104522xyxyxyσσσστ+−+−=。。①sin210cos2102532xyxyσστ−+=。。②对AC斜截面有cos150sin1509522xyxyxyσσσστ+−+−=。。③sin150cos1502532xyxyσστ−+=。。④将①-④式中任三个联立，即可求解出。譬如联立①②④式得45(0.866)0.522xyxyxyσσσστ+−=+−−⑤43.3(0.5)0.8662xyxyσστ−=−−⑥943.3(0.5)0.8662xyxyσστ−=−⑦由⑥+⑦式得86.61.732,50xyxyMPaττ=−=−将xyτ值代入⑤⑥式可解得70xyMPaσσ==主应力与主平面位置：}maxmin22()22xyxyxyσσσσσστ+−=±+{221202070707070()(50)22MPaMPaMPa⎡⎤++=±+−=⎢⎥⎣⎦按照主应力得记号规定123120,20,0MPaMPaσσσ===0022(50)tan2,457070xyxyaaτσσ×−=−=−=∞=−−。单元体草图如题7。14图（c）所示。7．25如题所示，列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A点用变形仪量得0.0004xε=，0.00012yε=−。试求A点在xx−及yy−方向的正应力。设E=200GPa，0.3μ=。并问这样能否求出A点主应力？解：根据广义胡克定律yyxxEEEσσσεμ⎛⎞⎟⎜=−+⎟⎜⎟⎜⎝⎠yzxyEEEσσσεμ⎛⎞⎟⎜=−+⎟⎜⎟⎜⎝⎠因0zσ=，所以将测得的xε、yε值代入上二式，得0.00040.3yxEEσσ=−×①0.00040.3yxEEσσ=−×②联立①、②式，求得80xσ=MPa,0yσ=因xyτ未知，故不能求出主应力。7．27从钢构件内某一点的周围取出一单元体，如题7.27图（a）所示。根据理论计算已求得30σ=MPa，15π=MPa。材料的E=200GPa，0.30μ=。试求对角线AC的长度改变lΔ。10解：欲求对角线AC的长度改变lΔ，必须先知道AC方向上的应变，沿AC方向取单元体，如题7.27图（b）所示。该单元体上除正应力外，还有切应力，但它对线应变不产生影响。()()()cos230sin23022nσσστ=+×−−×DD3030cos6015sin6022⎛⎞⎟⎜=++⎟⎜⎟⎜⎝⎠DDMPa=35.5MPa()()()1cos2120sin212022σσστ=+×−−×DD3030cos24015sin24022⎛⎞⎟⎜=++⎟⎜⎟⎜⎝⎠DDMPa=-5.49MPa对角线方向的应变()()691135.50.335.491020010nntEεσμσ=−=+×××618710−=×所以对角线AC的伸长量36251018710sin30ACnllε−−⎛⎞×⎟⎜Δ==××⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠Dm39.3510−=×mm7．37铸铁薄管如题7.37图所示。管的外径为200mm，壁厚15δ=mm，内压p=4MPa，F=200KN。铸铁的抗拉及抗压许用应力分别为[]30tσ=MPa，[]120cσ=MPa，0.25μ=。试用第二强度理论及莫尔强度理论校核薄管的强度。解：周向应力()63341020021510221510pdσδ−−××−××′==××Pa=22.7MPa轴向应力4FpdAσδ′′=−+()()63333341020021510200102001510151041510π−−−−⎡⎤××−×××⎢⎥=−+⎢⎥−×××××⎣⎦Pa11.6=−MPa径向应力4pσ′′′=−=−MPa按照主应力的记号规定11122.7σ=MPa,24σ=−MPa,311.6σ=−MPa按第二强度理论校核()()[]212322.70.2511.64rσσμσσ=−+=−×+MPa=26.6MPa[]tσ按莫尔强度理论校核p[][]()1322.70.2511.6trMcσσσσσ=−=+×MPa=25。6MPa[]tσ按两种强度理论校核，都满足强度要求。7．38钢制圆筒形薄壁容器，直径为800mm，壁厚4δ=mm，[]120σ=MPa。试用强度理论确定可能承受的内压力p。解：周向应力2pdσδ′=轴向应力4pdσδ′′=径向应力0σ′′′=按主应力记号规定1800100224pdppσσδ′====×280050444pdppσσδ′′====×30σσ′′′=≈根据第三强度理论13σσ−≤[]σ,02pdδ−≤[]σp≤[]332