小专题--12--巧解平行线中的拐点问题

第七章平行线的证明小专题12巧解平行线中的拐点问题教材母题】(教材P186复习题T15(1))已知：如图，直线AB∥ED.求证：∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.【解答】过点C作CF∥AB，则∠BCF＝∠ABC.又∵AB∥ED，∴CF∥ED.∴∠DCF＝∠CDE.∴∠ABC＋∠CDE＝∠BCF＋∠DCF，即∠ABC＋∠CDE＝∠BCD.变式1当点C运动到平行线的右侧如图，直线AB∥ED，∠B，∠BCD，∠D之间的关系是∠B＋∠BCD＋∠D＝360°．【拓展】(1)如图1，若AB∥CD，则∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2的度数为540°；(2)如图2，若AB∥CD，则∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＋∠E3的度数为720°；(3)如图3，若AB∥CD，猜想∠B＋∠D＋∠E1＋∠E2＋…＋∠En的度数为(n＋1)·180°。变式2当点C运动到平行线的外边已知AB∥ED，点C为AB，ED之外任意一点．(1)如图1，∠B，∠BCD，∠D之间的关系是∠B＝∠BCD＋∠D；(2)如图2，∠B，∠EDC，∠C之间的关系是∠EDC＝∠B＋∠C；解决平行线的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论．1．(随州中考)如图，在平行线l1，l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上，若∠1＝65°，则∠2的度数是(A)A．25°B．35°C．45°D．65°2．(聊城中考)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(C)A．110°B．115°C．120°D．125°3．(莱芜中考)如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝(B)A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°4．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°.(1)若∠BEF＝60°，则∠EFD＝90°；(2)探索∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系，并说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．解：(2)∠EFD＝∠BEF＋30°.理由：分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB.∴EM∥AB∥FN.∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN.又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN.∴∠D＋∠DFN＝180°.又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°.∴∠BEF＝∠MEF＋30°，∠EFD＝∠EFN＋60°.∴∠EFD＝∠MEF＋60°＝(∠MEF＋30°)＋30°＝∠BEF＋30°.(3)过点F作FH∥EP.由(2)知，∠EFD＝∠BEF＋30°.设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋30)°.∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，∴∠PEF＝12∠BEF＝x°，∠EFG＝12∠EFD＝(x＋15)°.∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG.∵∠HFG＝∠EFG－∠EFH＝15°，∴∠P＝15°.