概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1．离散型随机变量X的分布函数为．4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(xxxxxXPxF求X的分布律．解：)0()()(000xFxFxXP，2.002.0)01()1()1(FFXP，5.02.07.0)02()2()2(FFXP，3.07.01)04()4()4(FFXP，X的分布律为2．设kakXP)32()(，,2,1k，问a取何值时才能成为随机变量X的分布律．解：由规范性，aaannkk2321])32(1[32lim)32(11，21a，此时，kkXP)32(21)(，,2,1k．3．设离散型随机变量X的分布律为X124P2.05.03.0X112P2.05.03.02求：(1)X的分布函数；(2))21(XP；(3))31(XP．解：(1)1x时，0)()(xXPxF，11x时，2.0)1()()(XPxXPxF，21x时，7.0)1()1()()(XPXPxXPxF，2x时，1)2()1()1()()(XPXPXPxXPxF，X的分布函数为．2,1,21,7.0,11,2.0,1,0)(xxxxxF．(2)方法1：8.0)2()1()21(XPXPXP．方法2：8.02.01)21(1)21(1)21(FXPXP．(3)方法1：1)2()1()1()31(XPXPXPXP．方法2：101)01()3()31(FFXP．4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无．以X记这两种新药的年销售额，求X的分布律．解：设iA{第i组取得成功}，2,1i，由题可知，1A，2A相互独立，且4.0)()(21APAP．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：21AA，21AA，21AA，21AA，相对应的X的值为100000、40000、60000、0，则16.0)()()()100000(2121APAPAAPXP，24.0)()()()40000(2121APAPAAPXP，24.0)()()()60000(2121APAPAAPXP，336.0)()()()0(2121APAPAAPXP，X的分布律为5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为p，直到射中为止，求：(1)射击次数X的分布律；(2)脱靶次数Y的分布律．解：(1)由题设，X所有可能的取值为1，2，…，k，…，设kA{射击时在第k次命中目标}，则kkAAAAkX121}{，于是1)1()(kppkXP，所以X的分布律为1)1()(kppkXP，,2,1k．(2)Y的所有可能取值为0，1，2，…，k，…，于是Y的分布律为1)1()(kppkYP，,2,1,0k．6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为p，10p，以X表示直至两个面都出现时的试验次数，求X的分布律．解：X所有可能的取值为2，3，…，设A{k次试验中出现1k次正面，1次反面}，B{k次试验中出现1k次反面，1次正面}，由题知，BAkX}{，AB，则)1()(1ppAPk，ppBPk1)1()(，ppppBPAPBAPkXPkk11)1()1()()()()(，于是，X的分布律为ppppkXPkk11)1()1()(，,3,2k．7．随机变量X服从泊松分布，且)2()1(XPXP，求)4(XP及)1(XP．X100000060000400000P0.160.240.240.364解：)2()1(XPXP，2ee2，2或0(舍去)，224e32e!42)4(XP．)1()0(1)1(1)1(XPXPXPXP222e31e2e1．8．设随机变量X的分布函数为．0,0,0,e)1(1)(xxxxFx求：(1)X的概率密度；(2))2(XP．解：(1)．0,0,0,e)()(xxxxFxfx；(2)2e31)2()2(FXP．9．设随机变量X的概率密度为xxAxfee)(，求：(1)常数A；(2))3ln210(XP；(3)分布函数)(xF．解：(1)xAxxfxxdeed)(1AAxAxxx2|earctande21e2，2A．(2)61|earctan2dee12)3ln210(3ln2103ln210xxxxXP．(3)xxxxxxttfxFearctan2dee12d)()(．10．设连续型随机变量X的分布函数为5．axaxaaxBAaxxF,1,,arctan,,0)(其中0a，试求：(1)常数A，B；(2)概率密度)(xf．解：(1)2)arcsin(lim)0()(0)(BAaxBAaFaFax，1)(lim)0()(2xFaFaFBAax，21A，1B．(2)．axaxxaxFxf,0,,1)()(22．11．设随机变量X的概率密度曲线如图所示，其中0a．(1)写出密度函数的表达式，求出h；(2)求分布函数)(xF；(3)求)2(aXaP．解：(1)由题设知其他．,0,0,)(axxahhxf2d)(d)(10ahxxahhxxfa，ah2，从而其他．,0,0,22)(2axxaaxf．yhOax6(2)0x时，0d0d)()(xxtttfxF，ax0时，220202d)22(d0d)()(axaxttaatttfxFxx，ax时，1)(xF，X的分布函数为．axaxaxaxxxF,1,0,2,0,0)(22．(3)41)411(1)2()()2(aFaFaXaP．12．设随机变量X在]6,2[上服从均匀分布，现对X进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：由题意知其他．,0,62,41)(xxf，记3}{XA，则43d41)3()(63xXPAP，设Y为对X进行三次独立观测事件}3{X出现的次数，则Y～)43,3(B，所求概率为)3()2()2(YPYPYP)()()(333223APCAPAPC3227)43(41)43(333223CC．13．设随机变量X的概率密度为其他．,0,10,3)(2xxxf以Y表示对X的三次独立重复观察中事件}21{X出现的次数，求：(1)}21{X至少出现一次的概率；(2)}21{X恰好出现两次的概率．7解：由题意知Y～),3(pB，其中81d3)21(2102xxXPp，(1)}21{X至少出现一次的概率为512169)811(1)1(1)0(1)1(33pYPYP．(2)}21{X恰好出现两次的概率为51221)811()81()1()2(223223CppCYP．14．在区间],0[a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标．设这个质点落在],0[a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例．试求X的分布函数．解：0x时，事件}{xX表示X落在区间],0[a之外，是不可能事件，此时0)()(xXPxF；ax0时，事件}{xX发生的概率等于X落在区间],0[x内的概率，它与],0[x的长度x成正比，即xkxXPxF)()(，ax时，1)(xXP，所以ak1，则此时axxF)(；ax时，事件}{xX是必然事件，有1)(xF，综上，，axaxaxxxF,1,0,,0,0)(．15．设X～),2(2N，又3.0)42(XP，求)0(XP．解：)24222()42(XPXP3.0)0()2(，8.03.0)0()2(，8.0)2()2(1)0(1)0(XPXP．816．设X～)4,10(N，求a，使得9.0)10(aXP．解：)10()10(aXaPaXP)22102(aXaP)2()2(aa9.01)2(2a，95.0)2(a，查标准正态分布表知645.12a，290.3a．17．设X～)9,60(N，求分点1x，2x，使得X分别落在),(1x，),(21xx，),(2x的概率之比为3：4：5．解：由题知5:4:3)(:)(:)(2211xXPxXxPxXP，又1)()()(2211xXPxXxPxXP，25.041)(1xXP，33.031)(21xXxP，125)(2xXP，则5833.0127)(1)(22xXPxXP．25.0)360()360360()(111xxXPxXP，查标准正态分布表知03601x，03601x，则75.0)360(1)360(11xx查标准正态分布表，有7486.0)67.0(，7517.0)68.0(，75.02)68.0()67.0(，675.0268.067.03601x，即975.571x．5833.0)360()360360()(222xxXPxXP，查标准正态分布表知5833.0)21.0(，21.03602x，即63.602x．18．某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布)100,65(N，如果85分以上为9“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几？解：设X为考生的数学成绩，则X～)100,65(N，于是)85(1)85(XPXP)1065851065(1XP0228.09772.01)2(1，即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的2.28%．19．设随机变量X的分布律为求2XY的分布律．解：Y所有可能的取值为0，1，4，9，则51)0()0(XPYP，307)1()1()1(XPXPYP，51)2()4(XPYP，3011)3()9(XPYP，Y的分布律为20．设随机变量X在)1,0(上服从均匀分布，求：(1)XYe的概率密度；(2)XYln2的概率密度．解：由题设可知其他．,0,10,1)(xxf，(1)当0y时，}{yY，X21013P5161511513011X0149P51307513011100)()(yYPyFY，0)(yfY；e0y时，)e()()(yPyYPyFXY)(ln)ln(yFyXPX，此时，yyfyyyFyFyfXXYX1)(ln1)(ln)(ln)()(；ey时，1)()(yYPyFY，0)(yfY；其他．,0,e0,1)(yyyfY．