高数)第3章：微分中值定理与导数的应用

1第三章微分中值定理与导数的应用2一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理3微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理——费马(Fermat)定理.0)()(),()(000xfxxfxbaxf可导，则在点且取得最值，内一点在若函数费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节微分中值定理45xyo)(xfy12几何解释:.0位于水平位置的那一点续滑动时，就必然经过，当切线沿曲线连率为显然有水平切线，其斜曲线在最高点和最低点6证明:达到最大值证明。在只就0)(xxf),()(,),()(0000xfxxfbaxxxxf就有内在达到最大值，所以只要在由于,0)()(00xfxxf即;0,0)()(00时当从而xxxfxxf;0,0)()(00时当xxxfxxf0)()(lim0)(000x0xxfxxfxf这样.0)()(lim0)(000x0xxfxxfxf.0)(0xf所以可导，在点而0)(xxf7ab12xyo)(xfyC右图，区间[a,b]上一条光滑曲线弧，且两端点处的函数值相等，除区间端点外处处有不垂直于x轴的切线，在最高点和最低点处切线有何特点？观察与思考：8几何解释:2.罗尔(Rolle)定理xOyCabyf(x)AB如果连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(,f())，曲线在C点的切线平行于x轴。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点(a,b)，使得f()0。9证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使，则由费马引理,.0)(f10注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。f(x)不满足条件(1)BxOyAabf(x)不满足条件(3)xOyABabf(x)不满足条件(2)xOyABabc11但它满足定理的三个条件，有水平切线()(3),[0,3]fxxxx()31()2xfxxyy=f(x)0x可能有同学会问，为什么不将条件(1)(2)合并为f(x)在[a,b]上可导？可以.但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数.例如函数，则显然x=0时，函数不可导，即不符合加强条件；12在],0[上连续,),0(内可导,且0)()0(ff,例1验证，xxfsin)(，xxfcos)(，0)2(f.),0(213例2不求导数，判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点1，使f(1)0，1是f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点2，使f(2)0，2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。14★设],,0[)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cos)(sin)(ff分析:要证即0sin)(xxxf容易验证证)(xF在],0[上满足罗尔定理条件.证明设xxfxFsin)()(由罗尔定理定理得.至少存在一个x,使得0)(F即.0cos)(sin)(ff从而.cos)(sin)(ff15,()[,](,)fxCabab在222(()())()()xfbfabafx(,)ab在内至少有一根.222(()())()()0xfbfabafx222((()())()())0xfbfabafx222(()())()()afbfabafa222(()())()()bfbfabafb22()()afbbfa★分析:设函数内可导，证明16222()(()())()()Fxxfbfabafx令,()fx则由的连续性和可导性得()[,],()(,),FxCabFxab在内可导22()()()()FaFbafbbfa又由罗尔定理,至少存在一点(,)ab使得22()2(()())()()0Ffbfabaf.(,)ab即方程在内至少有一根证17分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.18•对于罗尔定理中的第三个条件很多函数都不满足，这样就限制了罗尔定理的适用范围，要是能取消就好了。()()fafb19观察与思考：连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标不相等。f()？，f(h)？问题：直线AB的斜率k？答案：f()f(h)k，kabafbf)()(，C2hxOyABaby=f(x)C1f(b)f(a)f()(ba)。f(b)f(a)？20三、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式()()()()fbfafba成立.)1()2().()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成拉格朗日中值公式21几何意义：C2hxOyABaby=f(x)C1.,ABCAB行于弦该点处的切线平在至少有一点上在曲线弧注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.()()()()fbfafba，拉氏公式22证明容易验证,)(xF满足罗尔定理的条件,于是ba,,使即abafbff)()()(.作辅助函数，)()()()()(axabafbfxfxF，0)()()()(abafbffF23例3，xxf1)(，1e11e)1()e(ff，e),1(1e.1e)1()e()(fff使xxfln)(,在e],1[上满足拉格朗日定理的条件,24).10()()()(000xxxfxfxxf).10()(0xxxfy拉格朗日中值公式又称有限增量公式.，))(()()(abfafbf之间和介于ba或))](([)()(ababafafbf,10,特别地,或.的精确表达式增量y拉格朗日中值公式另外的表达方式：25如果在),(ba内恒有0)(xf,则)(xf在),(ba内为一常数.推论1),(,),(2121xxxxba内任取两点在)())(()()(211212xxxxfxfxf则，0)()(,0)(12xfxff.)()(12xfxf即由21,xx的任意性可知,)(xf常数,),(bax.证明在],[21xx上对)(xf使用拉格朗日定理,26如果)(xf和)(xg在),(ba内可导,且在),(ba内恒有)()(xgxf,则在),(ba内)(xf和)(xg最多相差一个常数.由推论1即得结论.作辅助函数)()()(xgxfxF,则0)()()(xgxfxF,推论2证明27而2)0(f,故2)(xf,1,1x.证明恒等式2arccosarcsinxx,1,1x设xxxfarccosarcsin)(,1,1x01111)(22xxxf,1,1xCxf)(,1,1x且2)1()1(ff,类似可得：2cotarcarctanxx,Rx.例4证由推论1知,28证明：aababb1lnln1,ba0令xxfln)(,在),(ba上利用拉格朗日定理,例5利用拉格朗日定理可证明不等式.证，ababflnln1)(,ba,111ab.1lnln1aababb即得29例6.)1ln(1,0xxxxx时证明当证,],0[)(条件上满足拉格朗日定理的在xtf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即得),1ln()(ttf设30不妨设yx,令ttfsin)(,在],[yx上利用拉格朗日定理：而1cos,故yxyxsinsin.特别,令0y，得xxsin.),(yx,使)(cossinsinyxyx,例7证类似可证：，yxyxarctanarctanRyx,，yxyxsinsinRyx,特别，，xxsinRx314.柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点(a，b)内，使得)()()()()()(gfagbgafbf如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：32xOyABf(b)f(a)g(a)g(b)C1g(C2g(h柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为.)()(ddddddtgtftxtyxy,)()()()(agbgafbfk.)()(kgf设曲线AB是由参数方程)()(tfytgx)(bta所确定的.33证明易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点(a,b)，使首先可以断定)()(bgag,否则,若)()(bgag,由罗尔定理,ba,,使0)(g,矛盾.作辅助函数，)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF所以)()()()()()(gfagbgafbf.，0)()()()()()()(gagbgafbffF而0)(g,34练习：P132习题3-12.6.改为:2cotarcarctanxx,Rx.7.9.11.(2)改为:xx1e(0x).35证明xx1e(0x).设ttfe)(,则ttfe)(,当0x时,在],0[x上对)(tf应用拉格朗日定理:x,0,使xxfxfx)0(e1e)0()(,得证.当0x时,在]0,[x上对)(tf应用拉格朗日定理:0,x,使xxxffx)0(ee1)()0(,得证.证36第二节洛必达法则在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.(1)0)(lim)(limxgxfaxax；(2)0)(xg；则Axgxfax)()(lim(或).(证略)(3)Axgxfax