量子力学期末考试题及解答

1一、波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;,,wrtJrtot解答：由波函数的概率波解释可知，当,rt已经归一化时，坐标的取值概率密度为2,,,,wrtrtrtrt（1）将上式的两端分别对时间t求偏微商，得到,,,,,wrtrtrtrtrtttt（2）若位势为实数，即VrVr，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式2,,,2rtihirtVrrttmh（3）2,,,2rtihirtVrrttmh（4）将上述两式代入（2）式，得到22,,,,,2rtihrtrtrtrttm,,,,2ihrtrtrtrtm（5）若令,,,,,2ihJrtrtrtrtrtm（6）有,,0wrtJrtt（7）此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。2.若线性谐振子处于第一激发态2211exp2xCx求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0。解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知2222221exp1xdxCxxdx（1）利用积分公示22211021!!exp2nnnnxxdx（2）可以得到归一化常数为32C（3）坐标的取值概率密度为3222212expwxxxx（4）由坐标概率密度取极值的条件32322222exp0dwxxxxdx（5）知wx有五个极值点，它们分别是10,,x（6）为了确定极大值，需要计算wx的二阶导数2322223222226222expdwxxxxxxdx322442222104expxxx（7）于是有232040xdwxdx取极小值（8）220xdwxdx取极小值（9）231280xdwxdxe取极大值（10）最后得到坐标概率密度的最大值为321112wxxe（11）3.半壁无限高势垒的位势为0000xvxxavxa求粒子能量E在00Ev范围内的解。解答：按位势的不同将求解区间分为三个，分别记为I、II和III。在三个区域中，满足有限性要求的波函数分别为2130sinexpxxAkxxBx（1）其中2mEkh（2）02mVEh（3）由0x处的连接条件12000（4）知sin0A（5）即要求n0,1,2,n（6）于是2sin1sinnxAkxnAkx（7）再由xa处的连接条件23//23aaaa（8）得到1sinexp1cosexpnnAkaBxAkkaBx（9）由上式可得4cotkak（10）此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能用数值法求解或用图解法求解。由于余切为负值，所以角度ka在第2或第4象限。若令002mVkh（11）则式（10）可以写成0sinkakaka（12）若用作图法求解上式，则其解是曲线1sinyka（13）与20kayka（14）在第2或第4象限的交点。4.带电线性谐振子受到一个x方向均匀电场0的作用，求其能级。设该线性谐振子的质量为m、电荷为q、角频率为。解答：在均匀电场作用下，带电谐振子的哈密顿算符为2222021ˆ22hdHmxqxmdx（1）设哈密顿算符满足本证方程ˆnnnHxEx（2）利用配方的方法改写其势能项为22012Vxmxqx222220002222122qqqmxxmmm22220022122qqmxmm（3）若令02qXxm（4）22022qEEm（5）5则定态薛定谔方程可以写为22222122hdmXXEXmdX（6）此即正常的线性谐振子的能量本证方程，它的解为12Enh(7)利用式（4）、（5）可以得到电场中线谐振子的本证解为2202122nqEnhm（8）2200221exp2nnnqqxNxHxmm（9）5.已知做一维运动的粒子处于束缚定态221exp2xAxx求粒子的能量及所处的位势。其中，A为归一化常数，mh。解答：将一维束缚定态薛定谔方程222hdxVxxExmdx（1）改写为222dxhdxVxEmx（2）利用已知的波函数x，计算它的一阶导数221exp2ddxAxxdxdx222211exp2Axx（3）进而求出x的二阶导数2222211exp2ddxAxxdxdx622432224212exp23Axxxxxx（4）将上式代入式（2）,得到22422322hhVxExmm（5）若取0x处的位势为零，则能量本征值为2232hEm（6）将上式代入（5）式，立即得到位势的形式4222hVxxm（7）6.设质量为m的粒子处于一维势阱之中0000xVxVxaxa式中，00V。若粒子具有一个04VE的本征态，试确定此势阱的宽度。解答：对于004VE的情况，三个区域中的波函数分别为1230sinexpxxAkxxBx（1）式中02mEVkh，2mEh（2）利用波函数在0x处的连接条件知，,0,1,2,nn。取0，于是2sinxAkx（3）在xa处，利用波函数及其一阶导数连续的条件//1212,aaaa（4）得到sinexpAkaBacosexpAkkaBa（5）7于是有tankka（6）此即能量满足的超越方程。当04VE时，由于000332tan3212mVamVhahmVah（7）故03,1,2,3,23mVannh（8）最后，得到势阱的宽度为02133hanmV（9）7.设粒子处于如下势场0000VxVxx若00V，0E，求在0x处的反射系数和透射系数。解答：具有能量E的粒子由左方入射，在两个区域中的波函数分别为111expexpxAikxBikx（1）22expxCikx（2）式中01222;mEVmEkkhh（3）利用波函数在0x处的连接条件，得到ABC；21kABCk（4）将B、C用A来表示，则有1212kkBAkk；1122kCAkk（5）于是反射系数R与透射系数T分别为821212kkRkk；122124kkTkk（6）把式（3）代入式（6）得到反射系数R为2200400EVEVREVEEVE(7)进而可得透射系数为0204EEVTEVE(8)当0EV时，有20216VRE（9）8.质量为m的粒子处于一维位势00000xVxxaVxa中，写出其能量本征值0EV时满足的方程。9.设质量为m的粒子处于一维势阱之中00000xVxxaVxa若已知该粒子在此阱中存在一个能量为态02VE，试确定此势阱的宽度a。解答：三个区域中的波函数分别为1230sinexpxxAkxxBx（1）式中02mEVkh，2mEh（2）9利用波函数在0x处的连接条件知，,0,1,2,nn。取0，于是2sinxAkx（3）在xa处，利用波函数及其一阶导数连续的条件//1212,aaaa（4）得到sinexpAkaBacosexpAkkaBa（5）于是有tankka（6）此即能量满足的超越方程。10.有一个粒子沿x轴方向运动其波函数为1Axix，试求：（1）将此波函数归一化；（2）求出粒子按坐标的概率密度分布函数；（3）问在何处找到粒子的概率最大？为多少？解答：（1）x的共轭复数为1Axix利用归一化条件2211Axxdxdxx得到1A归一化后的波函数为11Axix（2）粒子的概率密度为2221Awxxxxx其中，1A，得到2211Awxx（1）概率最大时：10max100,dwxxwxdx11.一个质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动。求粒子在阱内外的能量本征值和本征函数。二、力学量的算符表示1.计算对易子ˆ,xxp解答：对于任意的波函数x，有ˆˆˆ,xxxxpxxpxpxx//ihxxxxxihx由于x是一个任意的波函数，所以ˆ,xxpih2.计算对易子ˆ,x解答：对于任意的波函数x，有ˆˆˆ,xxxxxxxxx2xxˆ2xx由于x是一个任意的波函数，所以ˆ,2xx3.计算对易子ˆ,xfxp解答：对于任意的波函数x，有///ˆ,xfxpxihfxxfxxfxx/ihfxx由于x是一个任意的波函数，所以ˆ,xdfxpihfxdx114.定义轨道角动量算符ˆˆLrp，计算ˆˆ,xyLL，其中ˆˆˆxzyLypzpihyzzy解答：利用对易子代数的运算规则，有ˆˆˆˆˆˆ,,xyzyxzLLypzpzpxpˆˆˆˆˆˆ,,zyxzyzypzpzpypzpxpˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,zxyxzzyzypzpzpzpypxpzpxpˆˆˆˆ,,zxzyypzpxzppˆˆyxihxpypihz5.定义轨道角动量算符ˆˆLrp，计算ˆˆ,yzLL，其中ˆˆˆyxzLzpxpihzxxz解答：利用对易子代数的运算规则，有ˆˆˆˆˆˆ,,yzxzyxLLzpxpxpypˆˆˆˆˆˆ,,xzyxzxzpxpxpzpxpypˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,xyzyxxzxzpxpxpxpzpypx