1990-2017考研数学二历年真题word版

-1-2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）2120lim()1,xxxeaxbx若则（）(A)112ab，(B)1,12ab(C)1,12ab(D)1,12ab（2）下列函数中，在0x处不可导的是（）(A)sinfxxx(B)sinfxxx(C)cosfxx(D)cosfxx（3）2,11,0(),(),10,()()1,0,0axxxfxgxxxfxgxRxxbx设函数若在上连续，则（）(A)3,1ab(B)3,2ab(C)3,1ab(D)3,2ab（4）10()[0,1]()0,fxfxdx设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02fxf当时(B)1()0,()02fxf当时-2-(C)1()0,()02fxf当时(D)1()0,()02fxf当时（5）设2222222211,,1cos,1xxxMdxNdxKxdxxe则（）(A)MNK(B)MKN(C)KMN(D)KNM（6）22021210(1)(1)xxxxdxxydydxxydy（）(A)53(B)56(C)73(D)76（7）下列矩阵中与矩阵110011001相似的为（）(A)111011001(B)101011001(C)111010001(D)101010001（8）,,ABnrXXXY设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）(A),rAABrA(B),rABArA-3-(C),max,rABrArB(D),TTrABrAB二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）2lim[arctan(1)arctan]xxxx（10）22lnyxx曲线在其拐点处的切线方程是（11）25143dxxx（12）33cos4sinxttyt曲线，在对应点处的曲率为（13）1,ln,1(2,)2zzzxyzexyx设函数由方程确定则（14）12311232233233,,,,2,2,,AAAA设为阶矩阵是线性无关的向量组若则A的实特征值为.三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）2arctan1.xxeedx求不定积分（16）（本题满分10分）200()()()xxfxftdttfxtdtax已知连续函数满足-4-（I）()fx求；（II）()[0,1]1,.fxa若在区间上的平均值为求的值（17）（本题满分10分）sin,(02),(2).1cosDxttDtxxydyt设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（18）（本题满分10分）已知常数ln21.k证明：2(1)(ln2ln1)0.xxxkx（19）（本题满分10分）2m将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值（20）（本题满分11分）已知曲线24:(0),0,0,0,1.9LyxxOAPLSOAAPL点点设是上的动点，是直线与直线及曲线3,4.PxSt所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率-5-（21）（本题满分11分）110,1(1,2,),lim.nnxxnnnnnxxxeenxx设数列满足：证明收敛，并求（22）（本题满分11分）2221231232313(,,)(,)()(),.fxxxxxxxxxaxa设实二次型其中是参数(I)123(,,)0fxxx求的解；(II)123(,,)fxxx求的规范形.（23）（本题满分11分）1212=130=011.27111aaaABa已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I);a求(II).APBP求满足的可逆矩阵-6-2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在x=0连续，则(A)12ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab（2）设二阶可到函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff且()0fx，则(A)11()0fxdx(B)12()0fxdx(C)0110()()fxdxfxdx(D)1110()()fxdxfxdx（3）设数列nx收敛，则(A)当limsin0nnx时，lim0nnx(B)当lim()0nnnnxxx时，则lim0nnx(C)当2lim()0nnnxx,lim0n(D)当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx（4）微分方程248(1cos2)xyyyex的特解可设为ky(A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx(B)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx(C)22(cos2sin2)xxAexeBxCx(D)22(cos2sin2)xxAxexeBxCx（5）设()fx具有一阶偏导数，且在任意的(,)xy，都有(,)(,)0,fxyfxyxy则-7-(A)(0,0)(1,1)ff(B)(0,0)(1,1)ff(C)(0,1)(1,0)ff(D)(0,1)(1,0)ff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线1vvt（单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则(A)010t(B)01520t(C)025t(D)025t051015202530()ts(/)vms1020（7）设A为三阶矩阵，123(,,)P为可逆矩阵，使得1000010002PAP，则123(,,)A(A)12(B)232(C)23(D)122（8）已知矩阵200021001A，210020001B，100020000C，则(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C)A与C不相似，B与C相似(D)A与C不相似，B与C不相似-8-二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为（10）设函数()yyx由参数方程sintxteyt确定，则202tdydx（11）20ln(1)1xdxx=（12）设函数,fxy具有一阶连续偏导数，且,1,0,00yydfxyyedxxyedyf，则,fxy=（13）110tanyxdydxx（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则a三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求030limxtxxtedtx（16）（本题满分10分）设函数,fuv具有2阶连续性偏导数，y,xfecosx,求0dydxx,220dydxx（17）（本题满分10分）求21limln1nnkkknn（18）（本题满分10分）已知函数错误!未找到引用源。由方程错误!未找到引用源。确定，求错误!未找到引用源。的极值（19）（本题满分10分）()fx在0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim0xfxfx，证明（1）方程()0fx在区间(0,1)至少存在一个根-9-（2）方程2()()()0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根（20）（本题满分11分）已知平面区域22,2Dxyxyy，计算二重积分21Dxdxdy（21）（本题满分11分）设()yx是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线:()Lyyx上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,)PY，法线与x轴相交于点(,0)PX，若pPXY，求L上点的坐标(,)xy满足的方程。（22）（本题满分11分）三阶行列式123(,,)A有3个不同的特征值，且3122（1）证明()2rA（2）如果123求方程组Axb的通解（23）（本题满分11分）设132221232121323(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q.-10-2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设1(cos1)axx，32ln(1)axx，3311ax.当0x时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）123,,aaa.（B）231,,aaa.（C）213,,aaa.（D）321,,aaa.（2）已知函数2(1),1,()ln,1,xxfxxx则()fx的一个原函数是（A）2(1),1.()(ln1),1.xxFxxxx（B）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（C）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（D）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（3）反常积分1021xedxx①，1+201xedxx②的敛散性为（A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散.（C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散.（4）设函数()fx在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有2个拐点.（B）函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有3个拐点.（C）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有1个拐点.（D）函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有2个拐点.（5）设函数()(1,2)ifxi具有二阶连续导数，且0()0(1,2)ifxi，若两条曲线()(1,2)iyfxi在点00(,)xy处具有公切线()ygx，且在该点处曲线1()yfx的曲率大于曲线2()yfx的曲率，则在0x的某个领域内，有-11-（A）12()()()fxfxgx（B）21()()()fxfxgx（C）12()()()fxgxfx（D）21()()()fxgxfx（6）已知函数(,)xefxyxy，则（A）''0xyff（B）''0xyff（C）''xyfff（D）''xyfff（7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222f