战地黄花——线代部分

一.欲说《线代》先方程大自然中最简单的图形是直线。社会生活中最简单的关系是“成比例”。据说当年“工x队”进驻清华。有一位队员对“井岗山”群众讲话。开场白说，我们工人阶级大老粗，不象你们知识分子弯弯多。我们是“一根肠子通屁眼——直来直去”。一句话让满场红28团的钢杆粉丝们笑得捧腹弯腰，花枝乱颤。“直”代表简单，早已融进人们的思维。初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。什么东东叫一个方程（组）的根——把东东代入这个方程（组），方程（组）化为恒等式。这个概念是学习《线性代数》的基本需要。不少人读到“齐次线性方程组有限个解的线性组合，仍然是该方程组的解”感觉盲然没反应，一是忘了概念，二是不动笔。应对这些貌似理论的语句，其实方法很简单。是不是“解”，代入方程（组）算一算。由一元一次方程出发，关于方程的研究向两个方向发展：（1）一元n次方程（2）n元一次方程组（线性方程组）大学数学《线性代数》教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”。第二板块是矩阵特征理论基础知识。n阶方阵A的特征方程是个一元n次方程。一元n次方程的讨论点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。（二重根算两个根。）有韦达定理显示根与系数的关系。人们努力探索了大半个世纪，也没能找到一元五次方程的求根公式。回头又花了几十年，证明了所期盼的求根公式不存在。同时也证明了一元n次方程在复数范围内有n个根。（k重根算k个根。）还同样找到了高次方程的“韦达定理”。对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论，所有的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，---）都得到了园满解决。在研究非线性问题时，人们找到了“有限元”，“边界元”等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来，方程组的表达方式自然就上升为首要问题。描述一个齐次线性方程a1x1+a2x2+---+anxn=0，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的n维向量（a1，a2，---，an）。方程组的两种同解变换，即方程两端同乘以一个数与两个方程相加（减），正好是数乘向量与向量加法。如果是有m个方程的齐次线性方程组，则m个系数行就排成一个m×n阶矩阵。如果把n个未知量也按顺序排成一个向量，每个方程的左端“a1x1+a2x2+---+anxn”，正好是，系数向量与未知量向量的“对应分量两两相乘，加在一起”。数学家们把这个计算方式规定为“向量的内积”。进而规定出“矩阵的乘法”。运用有限元方法转换模型时，要多方交互使用每个节点处的数据。这就不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量“多余的”方程。（如果用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是“多余的”方程。）这就产生了第二个问题：“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”由此有相应概念——矩阵的秩，n维向量组的秩。解决一个复杂的数学问题，往往需要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研究。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会常常收到很多诸如“证明哥德巴赫猜想”之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答曰，解决这样巨难的数学问题，必然需要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。实际问题的需要促成了线性理论百花竞艳。柯召先生的开山之作就是一部《矩阵论》。我在本科时是柯先生的钢杆粉丝，企图课余时间读完这套专著。结果读不到一半，但已收获不浅。考研那年，有幸在YM石油局图书馆书库中得到了张远达先生的《线性代数》。张先生主要以行列式为工具。常常在证明一个定理时，出人意料地给出一个辅助行列式，通过计算解决问题。直令我佩服得五体投地。又读了谢邦杰先生的《线性代数》，谢先生创新的“高矩阵”方法，让我耳目一新。还读了李尔重等老师合写的《线性代数》，这部教材着重照应《线性代数》方法在计算机上实现，让我对高斯消元，矩阵分解等内容有了更深的理解。（题外话：最终在考研考场上。我花了不到30分钟，拿到了《线性代数》的100分。那真是读书改变命运啊。）知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式；因为需要而定义新的概念；因为需要而“规定”集合中的运算；---。愿这能有助于你减少一点抽象感。二.提升观念学集合《线性代数》的“地基”是，行列式基础知识，向量基础知识，矩阵基础知识。全都需要用“集合”语言来描述。数学所说的集合，隐含集合中的“元素”有一定的共性特征。n维向量集合由全体n元有序数组（a1，a2，-----，an）组成；m×n阶矩阵是mn个元所排成的矩形阵列。这两个集合上都定义了“数乘”与“加法”运算。对于n阶行列式，它也有两条性质相应于“数乘”与“加法”。集合上的运算在观念上要比四则运算高一个层次。集合上的“运算”本质上是人为规定的特殊运算或特殊对应规律。“数乘”与“加法”合称为线性运算。由于有负数，因而“加法”实际上包含了通常的减法。数学工作者在讨论一般集合时，往往都希望能在集合中定义线性运算。集合中的若干个元素既作数乘又作加法，称为这些元素作“线性组合”。学到这个地步，要学会体验数学式的双重含义。一个线性组合式，它既表示相应的运算过程，又代表整个运算的结果。说“向量的线性组合”，有时就指的是运算结果所得到的向量。还比如：有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。（“线性组合”表示运算结果）有限个连续函数的线性组合连续。有限个可导函数的线性组合可导。（画外音：不要随口说啊。无穷大的线性组合不一定是无穷大。“∞－∞”是未定式。）如果两个变量成正比例，我们就说这两个变量有线性关系。在《解析几何》中，我们研究只有方向与模长的“自由向量”。三维（真实）空间里，两个向量α，β或者平行，对应分量成比例，α=λβ，即两个向量有线性关系。或者彼此不平行。（但必然都平行于同一平面。）这时，我们说两个向量没有线性关系。同样地，讨论一组两个或多个n维向量，我们自然要先考虑它们之间是否存在某种线性关系。即“是否有一个向量可以表示为组内其它向量的线性组合。”或“是否有一个向量可以被组内其它向量线性表示。”如果是，就称这组向量线性相关。否则，称向量组线性无关。作为数学定义，数学家们总希望其内含更丰富，不愿意突出某一个向量。于是有：定义若有一组不全为零的数c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0，就称向量组a1，a2，---，ak线性相关。否则，称向量组线性无关。（潜台词：谁的系数不为零，谁就可以被组内其它向量线性表示。）这个定义的内含实在是丰富多彩。理解（1）含“零向量”的向量组一定线性相关。——“零向量”的系数取1，其它向量的系数取0，就满足定义。（构造法！）理解（2）“部分相关，全组相关。”——比如组内有两个向量平行不仿设a1=ca2，即a1－ca2=0，其它向量的系数取0，就满足定义。（构造法！）这个结论有个伴生结论：“全组无关，部分无关。”理解（3）在一个向量组内，向量之间可能存在很多个线性关系。要判断其线性相关性，只需要找到一个线性关系。理解（4）系数为零的向量，实际上并没有参与该线性关系。例1如果向量β可以由向量组a1，a2，---，ak线性表示，则（A）存在一组不全为零的数c1，c2，---，ck，使得β=c1a1+c2a2+---+ckak（B）对β的线性表示式一定不唯一。（C）向量组β，a1，a2，---，ak线性相关。（D）组内任意一个向量，一定也可以由β及组内其它向量线性表示。分析已知β与a1，---，ak间存在线性关系，故（C）对。如果β是零向量，而a1，---，ak线性无关，则（A）不成立。如果a1，---，ak线性无关，则对β的线性表示唯一。（B）错。谁的系数不为零，谁才可以被β及组内其它向量线性表示。故（D）错。理解（5）如何用定义来具体描述及证明向量组线性无关呢？“不存在一组不全为零的数c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0”“对任何一组不全为零的数c1，c2，---，ck，总有c1a1+c2a2+---+ckak≠0”这两种否定性描述都对。但是不好用。我们选择：“设有数组c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0，则只有c1=c2=---=ck=0，就表明向量组线性无关。”这样一来，“证明向量组线性无关”就程序化了。遇上证明线性无关的题，你先写“设有一组数---，使得---，”再具体证明“只有---”。例2若向量组α1,α2线性无关，而α1,α2,β线性相关，α1,α2,γ线性无关，则向量组α1,α2,β+γ线性无关。证明已知α1,α2,β线性相关，即有不全为零的数组使k1α1+k2α2+k3β=0，又已知α1,α2线性无关，必有k3≠0，向量β可以由α1,α2线性表示。否则，系数全都为0，矛盾。设有数组c1，c2，c3，使得c1α1+c2α2+c3（β+γ）=0（潜台词：要证向量组线性无关，请证明三系数皆为0）如果c3=0，同理，只有c1=c2=0，结论得证。如果c3≠0，则向量β+γ可以被α1,α2线性表示。已证明β可以由α1,α2线性表示，从而γ也可以被α1,α2线性表示。这与已知矛盾。只有c3=0例3已知向量α1≠0，向量组a1，a2，---，ak中的每一个向量，都不能由排在它前面的那些向量线性表示。试证此向量组线性无关。证明设有一组数c1，c2，---，ck，使得c1a1+c2a2+---+ckak=0如果有某个系数非零，（反证法），我们可以从右向左看。设第一个不为0的系数是cr，则向量ar就能由排在它前面的那些向量线性表示。矛盾。只有c1=c2=---=ck=0，向量组线性无关。有一个重要的定理可以和线性相关的定义放在一起学习。定理已知一个n维向量组线性无关，如果在相同的位置给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n+1维向量组也线性无关。为了好记，我把这个结论称为“线性无关，延长无关。”比如，三维向量组（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）显然线性无关。依据本定理，四维向量组（1，0，0，a），（1，0，0，b），（1，0，0，c）一定线性无关。在实际工作中，要分析某个目标变量与我们认定的若干个因素变量之间的关系，以便对目标变量实施预测。通常也首先猜想那是一个“多元线性模型”，然后依据历史记录的各变量数据，用最小二乘法回归出各个系数，再用概率方法作显著性分析。三.“秩”的概念先向量矩阵的“秩”是《线性代数》第一模块(线性方程组)的核心概念。矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”，用向量工具更为方便。所以先要学习向量组的的秩。1．向量组的最大无关组与秩讨论向量组的线性相关性，其应用背景是，“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”因而我们相应最关心的是，“一个向量组中，最多有几个向量能线性无关，即相互独立。”如果一个向量组的子组线性无关。且把组内别的任何一个向量添加进去，得到的新子组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。一个向量组可能有好些个最大无关组。但是，最大无关组中含有的向量个数必定相同。（由后述“基本定理”保证。）称为向量组的“秩”。对向量组而言，最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候，你就把它设出来。例7向量组增加一个（或一些）向量而秩不变，则新增的那个（些）向量可以被原组向量线性表示。分析实际上因为新组包含旧组，且，新组的秩=旧组的秩，故旧组的最大无关组也是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。其它向量都给以零系数加上去，则新增的向量被原组向量线性