川师物理新版答案第五、六章-习题解

45第五章机械振动5–1在两个相同的弹簧下各悬一物体，两物体的质量比为4:1，则二者作简谐振动的周期之比为_________。解：由弹簧振子的周期公式kmTπ2可得，二者的周期之比为2:1。5–2某星球质量是地球质量的P倍，半径是地球半径的q倍，一只在地球上周期为T的单摆在该星球上的振动周期为。解：因espMM，esqRR，所以星球上的重力加速度为gqpRqpMGRMGg22s2e2sss星球上该单摆的振动周期为TPqglTssπ25–3一汽车载有四人，他们的质量共为250kg，上车后把汽车的弹簧压下5×10-2m。若该汽车弹簧共负载1000kg的质量，则汽车的固有频率为。解：由题意可得弹簧的劲度系数为42109.41058.9250xmgkN/m负载M=1000kg的质量时，汽车的固有频率为π271000109.4π21π21π24MkHz5–4一弹簧振子，当t=0时，物体处在平衡位置且向x正方向运动，则它的振动的初相位为。解：将0t时，0x，代入振动方程)(costAx，得cos0A，故2π或2π又由于0t时，物体向x正方向运动，即0v，即需0sinAx，故初相位为2π5–5一简谐振动方程为)3cos(tAx，已知t=0时的初位移为0.04m，初速度为0.09m/s，则振幅A=________，初相=_____________。解：振幅223222202010509.004.0vxAm初相)43arctan()04.0309.0arctan()arctan(00xv5–6一简谐振动的旋转矢量图如图5-1所示，振幅矢量长2cm，则该简谐振动的初相为______。振动方程为_____________。解：由图可得初相位为4π，角频率π，故振动方程为ωOπtπ/4xt=0t=t图5-146)4ππcos(1022tx（m）5–7一质点按如下规律沿x轴作简谐振动，)3/π2π8cos(1.0tx（SI），此振动的周期为、初相为、速度最大值为、加速度最大值为。解：由振动方程π8，所以周期为25.0π8π2π2Ts初相为32π振幅A=0.1m，速度最大值为0.8ππ81.0mAvm/s加速度最大值为222mπ4.6π641.0Aam/s25–8一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为)612cos(10421tx，)652cos(10322tx（SI）则其合成振动的振幅为___________，初相为_______________。解：由两分振动的振动方程知21104Am，22103Am，6π1，65π2所以振幅为212212221101)cos(2AAAAAm初相正切为0825.0371coscossinsintan22112211AAAA初相为7.45–9某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次，如图5-2。鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次。将50g的砝码换成500g的砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次。你估计鸟的质量最接近[]。A．50gB．200gC．500gD．550g解：鸟在树枝上时，树枝振动的周期T0＝1.7s，挂上50g的砝码时，树枝振动周期T1＝0.83s，挂上500g的砝码时，树枝振动的周期T2＝2.5s，由于T1＜T0＜T2，所以鸟的质量m应满足50g＜m＜500g，故（B）选项正确。5–10卡车在水平道路上行驶，货物随车厢上下作简谐运动而不脱离底板，设向下为正方向，其振动图像如图5-3所示，则货物对底板压力小于货物重力的时刻是[]。图5-2P47A．时刻t1B．时刻t2C．时刻t4：D．无法确定解：t1为平衡位置，货物对底板压力等于货物所受重力；时刻t2为正的最大振幅处，此时货物受到底板向上的支持力和向下的重力，货物有向下的加速度，故此时货物受到的支持力小于货物的重，也即货物对底板压力小于货物重力，而在t4时刻则与t2时刻相反。故应选（B）。5–11如图5-4所示，设两弹簧处于自然长度，则振动系统的周期为[]。A．mkk21π21B．21π21kkmC．mkk21π2D．21π2kkm解：以平衡位置为原点建立坐标xO。设m向右偏离平衡位置距离为x，则左边弹簧被拉长x，右边弹簧被压缩x，m所受的合力（即回复力）为xkkF)(21由牛顿第二定律，有2221dd)(txmxkk即0dd2122xmkktx令mkk21则21π2π2kkmT故应选（D）。5–12如图5-5所示的振动系统的周期为[]。A．mkkkk2121π21B．)(π212121kkmkkC．)(π22121kkmkkD．2121)(π2kkkkm解：以图中物体所在平衡位置为坐标原点，建立坐标系，x轴的正方向向右。设m向右偏离平衡位置距离为x，弹簧1伸长x1，弹簧2伸长x2，则有21xxx（1）物体m所受的回复力为2211xkxkF（2）由（1）式和（2）式可得xkkkkF2121由牛顿第二定律，有222121ddtxmxkkkkOt/sx/cmt1t2t3t4图5-3k1k2m图5-4k1k2m图5-548令)(2121kkmkk则2121)(π2π2kkkkmT故应选（D）。5–13一简谐振动曲线如图5-6所示。则振动周期是[]。A．2.62sB．2.40sC．2.20sD．2.00s解：由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A/2，且向x轴正方向运动。图5-7是其相应的旋转矢量图。由旋转矢量法可知初相位为3π2，振动曲线上给出质点从A/2处运动到0x处所需时间为1s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差为6π52π3π2，则角频率为6π5trad/s，周期为4.2π2Ts。故应选（B）。*5–14一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上（如图5-8所示），作成一复摆。已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231mlJ，此摆作微小振动的周期为[]。A．glπ2B．gl2π2C．gl32π2D．gl3π解：因细棒转动惯量231mlJ，细棒质心到转动点O的距离为lh21。根据复摆的周期公式glmghJT32π2π2故应选（C）。5–15一物体作简谐振动，振动方程为)π21cos(tAx。则该物体在0t时刻的动能与/8Tt（T为振动周期）时刻的动能之比为[]。A．1:4B．1:2C．1:1D．2:1E．4:1解：物理的振动速度为图5-7t=1sxOΔφA/2图5-8Ol42x/cmO1t/s图5-649)π21sin(ddtAtxv0t时，速度为AAπ21sin1v/8Tt时，速度为AATA22π)214πsin(π)218sin(1v因2222121vvEE，所以应选（D）。*5–16两个弹簧振子，甲的固有频率是100Hz，乙的固有频率是400Hz，若它们均在频率是300Hz的驱动力作用下做受迫振动，则[]。A．甲的振幅较大，振动频率是100HzB．乙的振幅较大，振动频率是300HzC．甲的振幅较大，振动频率是300HzD．乙的振幅较大，振动频率是400Hz解：在物体作受迫振动时，当振动物体的固有频率和周期性驱动力的频率越接近，则受迫振动物体所获得的能量越多，其振幅越大；稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率。故应选（B）。5–17若谐振动方程为m4ππ20cos1.0tx，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s2t时的位移、速度和加速度。解：已知振动方程为4ππ20cos1.0tx，由振动方程可计算此题。（1）振幅：A=0.1m，角频率：π20rad/s，频率：Hz10π2f，周期：s1.01T，初相：4π。（2）s2t时，位移为m1007.74πcos1.04ππ40cos1.02tx速度为s/m44.44πsinπ24ππ40sinπ2tv加速度为222m/s2804πcosπ404ππ40cosπ40ta5–18一质量为2100.1kg的物体作谐振动，其振幅为2104.2m，周期为4.0s，当0t时，位移为2104.2m，求：（1）在0.5ts时，物体所在位置和物体所受的力；（2）由起始位置运动到2102.1xm，所需要的最短时间。解：（1）设物体的振动方程为tAxcos。因502104.2Am，2ππ2Trad/s0t时，位移为2104.2m，所以初相位0。所以振动方程为)2πcos(104.22tx当0.5ts时，物体所在位置为m107.14πcos104.222x。物体所受的力为N102.442xmkxf（2）由旋转矢量表示法可画出旋转矢量图（图5–9），由此可得从起始位置运动到2102.1xm时，相位差为π32，所以所需要的最短时间为s33.1342ππ32mint5–19如图5-10，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了x0=0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：设物体的振动方程为)cos(tAx。由题给条件得rad/s2mk由于重物运动到左方最远位置时才开始计时，因此初相位π。选重物在平衡位置O点为初状态，重物运动到左端最远位置处时为末状态，则在这个过程中，由功能原理，外力F所作的功等于系统机械能的增量，即有2021kAFx所以m204.0A所以振动方程为(SI)π)2cos(204.0tx5–20由质量为M的木块和倔强系数为k的轻质弹簧组成一在光滑水平台上运动的谐振子，如图5-11所示，开始时木块静止在O点，一质量为m的子弹以速率0v沿水平方向射入木块并嵌在其中，然后木块（内有子弹）作谐振动，若以子弹射入木块并嵌在木块中时开始计时，试写出系统的振动方程，取x轴如图。解：设嵌入子弹的木块的振动方程为)cos(tAx。嵌入子弹的木块作简谐振动的图5-9AAO2/A图5-10mOxFFxx0O（a）（b）m51圆频率为mMk设子弹嵌入木块时与木块的共同速度为v，子弹射入木块前后木块与子弹组成的系统动量守恒，有vv)(0mMm得mMm0vv由题意知振子的初始条件为：当0t时，0x，振子的初速度为v，由此可得0cosA（1）mMmA0sinv（2）由（1）式得2π，由（2）式知sin＞0，因此振子的初相位应为2π振幅为)(0mMmAv所以系统的振动方程为2πcos)(0tmMkmMmxv5–21一半径为R的木球静止地浮在水面上，其体积的一半恰好浸入水中。若把它刚刚按入水中后从静止状态开始放手，若不计水对球的阻力。试写出木球振动的微分方程，再说明木球在什么条件下作简谐振动。解：选平衡位置为原点，向下为x轴的正方向，设水的密度为。当球从平衡位置下移x时，如图5-12所示，则浸入水中的体积增加了xxxRV022dπ22231πRxxR木球所受合力大小为gRxxRVgF22231π方向与x轴方向相反。根据牛顿第二定律，有22222dd31πtxmRxxRg