材料力学第07章a(应力状态)

第七章应力和应变分析强度理论§7–1应力状态概述§7–2二向和三向应力状态的实例§7–3二向应力状态分析——解析法§7–4二向应力状态分析——图解法§7–5三向应力状态分析§7–8广义胡克定律§7–9复杂应力状态的应变能密度§7–10强度理论概述§7–11四种常用强度理论问题的提出AFFAAAszsxsysxsysztyxtyztzytzxtxytxz一、什么是一点处的应力状态？§7–1应力状态概述应力与点的位置有关与作用面的方位有关xyzPaσaτaA过一点有无数个不同方位的截面。一、什么是一点处的应力状态？§7–1应力状态概述A一点处不同方位截面上应力的集合，称为这点的应力状态。A二、一点处应力状态的表示方法：szsxsysxsysztyxtyztzytzx单元体——构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。应力单元体是一点受力状态的完整表示。Atxytxz（1）单元体单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等，面上的应力值即为该点所对应截面方位的应力大小。一点有六个独立的应力分量（2）应力分量xzzyyxzxyzxyzyxttttttsssAAAA三、为什么要研究一点处的应力状态pAmFlAFFσy云纹图σx云纹图τxy云纹图σr云纹图FFσy云纹图σx云纹图σr云纹图四、主平面、主应力：（1）主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。（2）主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321sssxszxyzsxsyszAAA任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。s1s2s31、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。2、二向应力状态（PlaneStateofStress）：二个主应力不为零的应力状态。3、三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。五、应力状态分类sxsxs1s1s2s2s3s3s1s1s2s2FF[例1]画出图中的A点的应力单元体。Ass§7–2二向和三向应力状态的实例dxdx[例2]画出图中A点的应力单元体。ttttttMeMeA[例3]12345F1F2q画出图中各点的应力单元体。FSMsMtFS12345F1F2qst12345maxt1sss1s12345F1F2qs1st12345maxtttss212345F1F2qst12345maxttt3s112345F1F2qst12345maxtttss4s112345F1F2qs5st12345maxt5sss1如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为p，容器直径D，壁厚。[例4]pD)20(Ds42DpDss4pD用横截面将容器截开，l受力如图所示,根据平衡方程lsssllssssDlpl2sps2pDllσ'σ'σ''σ''pls4pDs2pDlσ''σ''σ'σ'σ''σ''pss42pDss21pDlσ''σ''xyz§7–3二向应力状态分析——解析法sxtxysytyxtyxtxysxsysxtxysytyxsysx平面应力状态:单元体有一对平面上的应力为零。一、任意斜截面上的应力二、最大正应力和最小正应力三、主平面和主应力四、应力圆（莫尔圆）一、任意斜截面上的应力sata已知：sx、sy、txy求：sa、tasatatxysysxtyxsxsytyxtyxtxysxsytxya、adAcosadAsina,0FnAdassata解：设斜截面面积为dA，dAtyxsasysxtatnatxy由平衡得：as2cosdAxaatsincosdAxyas2sindAyaatcossindAyx0由tyx=txy和三角变换，得：asas2cosxaatsincosxyas2sinyaatcossinyxatasssssa2sin2cos22xyyxyx同理：(1)正应力拉为正；正负号规定：tyxsasysxtatnatxysxsytyxtyxtxysxsytxyaanatassta2cos2sin2xyyx2切应力绕研究对象顺时针转为正；3a逆时针为正。求斜截面上的应力，单位MPa[例4]20x5030°30°30atasssss2sin2cos2230xyyxyx30,20,30,50atssxyyx解：atasst2cos2sin230xyyx60sin2060cos2305023050)MPa(7.1260cos2060sin23050)MPa(6.44sata[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。FAll30°z20300120108020tssx60°A+－90kN90kN+135kNm[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。z20300120108020解：tssx60°)mm(1046.148zI06,29,0,74atssxyyx)mm(1065.435*zSzIyMsbISFzzS*t∴FAll30°)MPa(74)MPa(29*zS115701016012020atasssss2sin2cos2260xyyxyxatasst2cos2sin260xyyx120sin)29(120cos274274)MPa(6.43120cos)29(120sin274)MPa(5.46t60°s60°At60°s60°atasssssa2sin2cos22xyyxyxτxysysxτyxsataa二、最大正应力和最小正应力.,asa周期为的周期函数是,0dd:asa令二、最大正应力和最小正应力yxxyssta22tan000:aa和由此得两个驻点)2(00aaatasssssa2sin2cos22xyyxyx02cos22sinatassxyyx得：sminsmaxsmaxsminτxysysxτyxsataaa0切应力箭头所指象限就是最大正应力所在象限。22minmax22xyyxyxtssssss）（令ta=0，可得主平面的方位：yxxyssta22tan0即：主应力就是最大或最小的正应力。由atassta2cos2sin2xyyx02cos2sin2atassxyyx得三、主平面和主应力sminsmaxs1smaxs2smina0s1s2[例5]20x5030求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位MPa20,30,50xyyxtss解：22minmax22xyyxyxtssssss）（22202305023050）（7.44107.347.54yxxyssta22tan030502025.02tan0a02sMPa7.343sMPa7.541s∴x在单元体上画出主平面和主应力0as1s1s3s320x5030x0as1s1s3s3切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。56.2620a28.130a72.760a分析受扭构件的应力状态。解:(1)单元体如图所示(2)主应力0yxsstxyWTtttt2xyxytxytyx[例6]txyAtyxtssts3210，，MeCAMe22minmax22xyyxyxtssssss）（mmyxxyssta22tan0(2)主平面所在方位xytxytyx9020a450a450as1ts1s3ts3s1s1s3s3铸铁扭转破坏断口分析求C截面左侧a、b两点的主应力及主平面。[例7]+–200kN50kNm)80(kN+bsbasataaz1515270120b9250kNABC1.6m2m解：122701111230012033ZI)(108864mmzaaIMys)(5.122MPa)(6.64MPabISFzzSa*t91088][1020063MPaMPa27150MPaMPa27,0,150321sssaz1515270120b922minmax22xyyxyxtssssss）（6610881351080asata)5.7150(15120az1515270120basaτayxxyssta22tan05.1226.642055.15.4620a26.230a7.660ax0as1s1s3s3az1515270120bbsbzbIMymaxs)(5.136MPa0,5.136321sssMPa6610881501080[例8]求圆杆表面A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1N·m，d=20mm。MeMeAFFστστAτσTMeAFNF[例8]求圆杆表面A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1N·m，d=20mm。MeMeAFFστστAτσ解：AFs)(20MPa)MPa(30tWTtMPa1.6MPa6.214MPaMPa6.21,0,6.41321sss163edM22minmax22xyyxyxtssssss）（yxxyssta22tan020)30(236.7120a8.350aAτσx0as1s1s3s3AtsmmAPPs1s1s3s3对上述方程消去参数（2a），得到曲线的表达式：（1）应力圆（StressCircle）§7–4二向应力状态分析——图解法τσ22)2sin2cos2()2(atasssssaxyyxyx两边相加得：22)2cos2sin2(atasstaxyyxatasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyxsytyxsxsataatxy222222xyyxyxtsstsssaa此圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）222Ryax与圆方程相比较：τσ2yxssR222xyyxRtss①建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）（2）应力圆的画法②在坐标系内画出点A(sx，txy)和B(sy，tyx)③AB与s轴的交点C便是圆心。④以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)①斜截面面上的应力(sa，ta)应力圆上一点(sa，ta)sxtxysynsataa2anD(sa,ta（3）单元体与应力圆的对应关系②x轴与斜截面的夹角为a两半径夹角2a；且转向一致。点面对应，转向相同，转角两倍。xA(sx,txy)B(sy,tyx)OstCx（4）在应力圆上标出主应力OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a0smaxsminyxxyssta22tan022minmax22xyyxyxtssssss）（求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)解：3、连接A、B两点，与s轴的交点C便是圆心;)30,10(B)30,40(A2、在坐标系内画出点[例9]10x40301、应力坐标系如图s10MPaτOBAC4、以C为圆心，以AC为半径画圆得应力圆。5、应力圆与s轴的交点便是主应力，