正态分布习题

7.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解答8.某产品成箱包装，每箱重量是随机变量。假设每箱平均重量为50千克，标准差为5千克。若用载重为5吨的汽车承运，试问每辆汽车最多可运多少箱，才能保证不超载的概率大于97.7%.解答总结5.设二维连续随机变量的联合概率密度求边缘概率密度。问随机变量与是否独立？解答281,,11(,)420xexyfxy其它(,)XYXY0.416015680.iiPX12160,,,XXX6.用中心极限定理近似计算概率：(1)设独立同分布随机变量都服从的泊松分布，求(2)2000件产品中有40件次品，按放回抽样连取100件，其中次品数为随机变量，求X{04}.PX解答上一页正态分布典型例题解答下一页1.填空(1)设随机变量，则_______.(2)设随机变量，若，则______.(3)随机变量的概率密度，则____.(4)设随机变量与独立且都服从，则_______.(5)设随机变量，则______.(6)设服从相同分布，则______.(0,1)XN{||1}PX2(20,2)XN1{}2PXaaX2(5)81(),()8xfxex{5}PXXY2(,)N23XY2(3,4)XN2()EX,XY2(,)N()()EaXbYaXbY解：(1)(2)(3)(4)服从正态分布，且，所以{||1}{11}(1)(1)2(1)10.6826PXPX20120{}(0)020222aaPXaa2551(5,2),{5}11(0)22XNPX23XYZ()233EZ222()45DZ223(3,5)XYN返回(5)(6)22()3,()16,()()[()]16925EXDXEXDXEX222222222222222222222222(),(),(),()()()()()()()()()()()()()()EXDXEYDYEaXbYaXbYEaXbYaEXbEYaDXEXbDYEYabab注：要熟悉掌握正态分布的定义和性质。正态分布典型例题解答X2.某工厂生产的电子管的寿命(小时)服从,若要求概率允许最大为多少？.2(160,)N{120200}0.80PX解：于是，要使，即，或，反查标准正态分布表得，因为是单调非降函数，所以，得，故允许最大为31.25.200160120160{120200}40404021PX40210.80{120200}0.80PX400.90401.28x401.2831.25注：计算公式根据实际需要可以从两方面使用。返回返回正态分布典型例题解答解：所以随机变量的概率密度为55()[()32](98.632)3799ESET252550()()298181DSDT221(37)2508181(37)1001()250819,()10ySyfyeey3.某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知，又随机变量S(。C)满足，求S的概率密度。5(32)9ST(98.6,2)TN注：正态分布的定义与性质要牢记。正态分布典型例题解答返回1(){}{12||}21122111122222YyFyPYyPXyPXyyPXPXyyy4.设随机变量，求随机变量的概率密度。(0,1)XN12||YX解：当时，所以，当时，，得.随机变量的概率密度为1y221111228111()22221122Yyyyyfyee()1YFy1y()0Yfy21181,1()20,1yYeyfyy正态分布典型例题解答下一页5.设二维连续随机变量的联合概率密度求边缘概率密度。问随机变量与是否独立？281,,11(,)420xexyfxy其它(,)XYXY解：先求边缘概率密度说明2222(0)188221111()422222xxxXfxedyee2(0,2)XN2288011()4222xxYfyedxedx11y22,8,8xtxtdxdtt11y111220011()22221111()2222ttYfytedttedt当时，令，所以，当时返回1y当时，，因此令，说明随机变量服从均匀分布.()0Yfy1,11()20,Yyfy其它Y(1,1)U易知，，所以随机变量与相互独立。YX(,)()()XYfxyfxfy注：积分中有时会遇到函数，应了解函数的定义及简单性质。正态分布典型例题解答返回0.416015680.iiPX12160,,,XXX6.用中心极限定理近似计算概率：(1)设独立同分布随机变量都服从的泊松分布，求(2)2000件产品中有40件次品，按放回抽样连取100件，其中次品数为随机变量，求X{04}.PX解：(1)近似服从正态分布，所以(2)随机变量，其中，由中心极限定理，近似服从，所以160180645664568088(2)(1)(2)(1)10.8185iiPX1601iiX2(1600.4,1600.4)(64,8)NN(,)XBnp40100,0.022000npX(1000.02,1000.020.98)(2,1.96)NN4202{04}1.961.96(1.43)(1.43)2(1.43)10.8472PX正态分布典型例题解答返回7.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解：设是一部件的第部分的长度，部件总长度，随机变量，相互独立且具有同一分布.已知，，由中心极限定理，部件长度近似服从，则所求概率为iXi(1,2,,10)i101iiXXiX(1,2,,10)i()2iEX2()0.05DXX2(20,100.05)N{|20|0.1}{19.920.1}20.12019.9200.05100.05102212(0.63)10.471410PXPX注：一个总的随机变量能分解成相互独立且具有同一分布的随机变量之和，只要知道分布的数学期望与方差，就可以利用中心极限定理来计算相关概率。正态分布典型例题解答返回8.某产品成箱包装，每箱重量是随机变量。假设每箱平均重量为50千克，标准差为5千克。若用载重为5吨的汽车承运，试问每辆汽车最多可运多少箱，才能保证不超载的概率大于97.7%.解：设是第箱的重量，各箱重量相互独立，n箱总重量.已知由中心极限定理，总重量近似服从正态分布，则所求概率为或得解出从而，每辆汽车最多装98箱才能够保证不超载的概率大于97.7%.iX(1,2,,)ini1niiXX2()50,()5.iEXDXX2(50,5)Nnn{5000}0.977PX500050100010(2)5nnnn1000102nn98.02n总结正态分布是理论上与实际应用中最重要的分布。应熟记一维正态随机变量的概率密度，计算公式及正态分布的线性性质。了解二维正态分布。大量独立同分布随机变量的和近似服从正态分布，解决了计算相应概率的问题。应学会这种计算概率的方法。{},baPaXb2(,)Nnn