圆中有关定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2.切线长定理如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）APC,APD,BPD,BPC4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中APC=CDP等证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD连结AC、BD，C=B,A=D,所以△APC∽△DPB相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以PT2＝PA·PB图1图2切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。图1例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，求CE。图2例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则::22PBACAB________。例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。图3例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，求证：（1）CBCDCE2；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。图4例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。求证：DEABBC2图5例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB图6例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。求证：BC＝2OE。图7例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。当∠DEF＝45°时，求证:点G为线段EF的中点；图8【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A.20/3B.25/3C.5D.82.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）图1A.50°B.40°C.60°D.55°4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD=22cm，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A.32cmB.23cmC.22cmD.33cm6.PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）A.20B.10C.5D.二、填空题7.AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，PA=310，则PC的长为_____________。10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则PAPC=_____________。三、解答题11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。图212.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。图313.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB=22cm，求⊙O的半径。图4圆的有关定理例题答案例1解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2解：由相交弦定理，得AE·BE＝CE·DE∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，，∴，即∴CE＝3cm或CE＝4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3解：∵∠P＝∠P∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，∴。又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得∴，即，故应填PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4∴PB＝4PA又∵PC＝12cm由切割线定理，得∴∴，∴∴PB＝4×6＝24（cm）∴AB＝24－6＝18（cm）设圆心O到AB距离为dcm，由勾股定理，得故应填。例5证明：（1）连结BE（2）。又∵，∴厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6证明：连结BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴∠E＝∠ADB＝90°∴△ADE∽△BAD∴∴∵CD∥AB∴AD＝BC，∴例7点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA∴同理可证△PCD∽△PBC∴∵PA、PC分别切⊙O于A、C∴PA＝PC∴∴AD·BC＝DC·AB例8点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。证明：连结OD。∵AC⊥AB，AB为直径∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D∴EA＝ED，OD⊥DE∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B∵∠ODE＝90°∴∴∠C＝∠EDC∴ED＝EC∴AE＝EC∴OE是△ABC的中位线∴BC＝2OE例9解：由∠DEF＝45°，得，∴∠DFE＝∠DEF∴DE＝DF又∵AD＝DC∴AE＝FC因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。模拟测试答案一、选择题：ACABBA7.908.19.3010.13.设BM＝MN＝NC＝xcm又∵∴又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB在Rt△ABC中，由勾股定理，得，由割线定理：，又∵∴∴半径为。11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm12.证明：连结AC，则AC⊥CB∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，∴BC平分∠DCP