最新北师大版初三数学下册第三章--圆-教案

第三章圆3.1圆1.回顾圆的基本概念.2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)阅读教材P65～66，完成预习内容.(一)知识探究1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔dr；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔dr.(二)自学反馈1.下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，图中共有2条弦.3.在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.活动1小组讨论例1⊙O的半径为2cm，则它的弦长d的取值范围是0d≤4_cm.直径是圆中最长的弦.例2⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.例3已知AB＝4cm，画图说明满足下列条件的图形.(1)到点A和B的距离都等于3cm的所有点组成的图形；(2)到点A和B的距离都小于3cm的所有点组成的图形；(3)到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形.解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D为所求；图1图2(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；(3)如图2，以点A为圆心，3cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.活动2跟踪训练1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0r5.3.如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条.这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm、AD＝4cm.(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3r5.(2)问中B、C、D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外是指哪个点在圆外？活动3课堂小结1.这节课你学了哪些知识？2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？3.2圆的对称性1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)阅读教材P70～71，完成预习内容.(一)知识探究1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.(二)自学反馈1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.在⊙O中，AB、CD是两条弦.(1)如果AB＝CD，那么AB︵＝CD︵，∠AOB＝∠COD；(2)如果AB︵＝CD︵，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD；[来源:学.科.网Z.X.X.K](3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，AB︵＝CD︵.活动1小组讨论例如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD︵＝CE︵.BE与CE的大小有什么关系？为什么？解：BE＝CE.理由是：∵∠AOD＝∠BOE，∴AD︵＝BE︵.又∵AD︵＝CE︵，[来源:学+科+网]∴BE︵＝CE︵.∴BE＝CE.活动2跟踪训练1.如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠ACB＝75°，则∠BAC＝30°.2.如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.证明：∵AB︵＝AC︵，∴AB＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形.∴AB＝AC＝BC.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.3.如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB︵＝DC︵，∠AOD＝80°，求∠AOB的度数.解：∵AB︵＝DC︵，∴∠AOB＝∠DOC.∵∠AOD＝80°，∴∠AOB＝∠DOC＝12(180°－80°)＝50°.活动3课堂小结圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.*3.3垂径定理1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)阅读教材P74～75，完成预习内容.(一)知识探究1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE＝DE；④CB︵＝DB︵；⑤CA︵＝DA︵.2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(二)自学反馈1.如图，弦AB⊥直径CD于E，相等的线段有：AE＝EB，CO＝DO；相等的弧有：AD︵＝DB︵，AC︵＝BC︵，CAD︵＝CBD︵.2.在⊙O中，直径为10cm，圆心O到AB的距离OC为3cm，则弦AB的长为8_cm.活动1小组讨论例如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD︵，点O是CD︵所在圆的圆心)，其中CD＝600m，E为CD︵上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径.解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，∴CF＝12CD＝12×600＝300(m).在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2.解得R＝545.所以，这段弯路的半径为545m.常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.活动2跟踪训练1.如图，在⊙O中，弦AB＝4cm，点O到AB的距离OC的长是23cm，则⊙O的半径是4_cm.2.CD是⊙O的直径，AB是弦，且AB⊥CD，垂足是E，如果CE＝2、AB＝8，那么ED＝8，⊙O的半径r＝5.3.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.活动3课堂小结用垂径定理及其推论进行有关的计算.3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)阅读教材P78～80，完成预习内容.(一)知识探究1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.同弧或等弧所对的圆周角相等.(二)自学反馈1.如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧BC︵上一点，则∠BAC＝50°.2.如图所示，点A、B、C在圆周上，∠A＝65°，则∠D＝65°.活动1小组讨论例1如图所示，点A、B、C在⊙O上，连接OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝65°.例2如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝64°.(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形.活动2跟踪训练1.如图，锐角△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，∠OAC＝20°，则∠B＝70°.2.OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠AOB是劣弧AB︵所对的圆心角，∠ACB是劣弧AB︵所对的圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC.∵∠AOB＝2∠BOC.∴∠ACB＝2∠BAC.求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.活动3课堂小结圆周角的定义、定理及推论.第2课时圆周角定理的推论2、31.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容.(一)知识探究1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.(二)自学反馈1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD＝110°，则∠BCD等于(C)A.110°B.90°C.70°D.20°2.如图，AB是⊙O的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是55°.活动1小组讨论例1如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)A.30°B.45°C.60°D.75°[来源:学科网ZXXK]例2如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝120°，则∠CBE的度数是120°.例3如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵AB︵＝AB︵，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.活动2跟踪训练1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)A.1B.2C.3D.22.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数.解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.活动3课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师强调：①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质；③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.3.5确定圆的条件1.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆以及三角形的外接圆及外心等概念.(重点)2.经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.(难点)阅读教材P85～86做一做，完成预习内容.(一)知识探究1.(1)经过一个已知点A画圆；想一想：经过已知点A可以画多少个圆？解：无数个.(2)经过两个已知点C、B画圆.想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？解：无数个.②圆心在哪儿？半径怎么确定？解：圆心选取线段BC的垂直平分线上任意一点.半径取这一点与点B(C)的距离.2.设三点A，B，C不在同一直线上.(1)过三点A，B，C的圆的圆心在哪儿？怎么确定？解：圆心为线段AB，BC垂直平分线的交点.(2)过不在同一直线上的三点A，B，C如何作圆？已知不在同一直线上的三点A，B，C，求作圆O，使它经过点A，B，C.作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线EF；②连接BC，作线段BC的垂直平分线MN；③以EF和MN的交点O为圆心，以OA(或OB或OC)为半径作圆，则圆O就是所求作的圆.(3)过不在同一直线上的三点A，B，C能作多少个圆？解：1个.(4)过同