第二章--§3.1-数乘向量

结束首页末页下一页上一页预习课本P82～84，思考并完成以下问题1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？3．1数乘向量结束首页末页下一页上一页[新知初探]1．数乘向量(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个，记作.(2)长度：|λa|＝.(3)方向：λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0或a＝0时，λa＝.向量λa|λ||a|相同相反0结束首页末页下一页上一页(4)几何意义：由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段或．当|λ|1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上为原来的倍；当|λ|1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上为原来的倍．(5)运算律：设λ，μ为实数，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝.(6)线性运算：向量的、和的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．伸长压缩伸长|λ|缩短|λ|λa＋μaλa＋λb加法减法实数与向量积结束首页末页下一页上一页[点睛](1)数乘向量λa中，实数λ称为向量a的系数．(2)实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义．(3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题．2．向量共线的判定定理a是一个向量，若存在一个实数λ，使得，则向量b与非零向量a共线．3．向量共线的性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝.非零b＝λaλa结束首页末页下一页上一页[点睛](1)在向量共线的定理中，有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)要注意两个定理中a都是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0，虽有a与b共线，但不存在实数λ，使b＝λa成立；若a＝b＝0，a与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立．(3)已知平面内直线AB外任意一点O，则满足向量关系式uuurOP＝λuurOA＋(1－λ)uuurOB的点P与点A，B共线．反之，若点P在直线AB上，则存在实数λ，使得uuurOP＝λuurOA＋(1－λ)uuurOB成立．结束首页末页下一页上一页[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa与a同向()(2)|λa|＝λ|a|()(3)若a≠0，ma＝na则m＝n()√××结束首页末页下一页上一页2．下列各式计算正确的个数是①(－7)·6a＝－42a；②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.()A．0B．1C．2D．3解析：选C根据实数与向量的积满足的运算律，可知①正确；a－2b＋(2a＋2b)＝a－2b＋2a＋2b＝3a，故②正确；a＋b－(a＋b)＝0.故③错误．结束首页末页下一页上一页3．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④解析：选B由实数与向量的积满足的运算律，可知①②正确；③中若m＝0，则a，b的关系不确定，错误；④中若a＝0，则m与n的关系不确定，错误．结束首页末页下一页上一页4．已知向量a＝2e1＋3e2，b＝－e1＋2e2，且ma＋b与a－2b共线，则实数m＝________.解析：ma＋b＝(2m－1)e1＋(3m＋2)e2，a－2b＝4e1－e2，由题意知2m－14＝3m＋2－1，故m＝－12.答案：－12结束首页末页下一页上一页向量的线性运算[典例]化简下列各式：(1)3(6a＋b)－9a＋13b；(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[解](1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.结束首页末页下一页上一页向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．结束首页末页下一页上一页[活学活用]化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)1622a＋8b－44a－2b.解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.结束首页末页下一页上一页在几何图形中用已知向量表示未知向量[典例]图，D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且uuurBC＝a，uurCA＝b.试求uuurAD，uuurBE，uuurCF(用a，b表示)．[解]uuurAD＝uuurAC＋uuurCD＝－b＋12uurCB＝－b－12a.uuurBE＝uuurBC＋uuurCE＝a＋12b.uuurCF＝uurCA＋12uuurAB＝uurCA＋12(uuurAC＋uurCB)＝b＋12(－b－a)＝12b－12a.结束首页末页下一页上一页用已知向量表示其他向量的方法结束首页末页下一页上一页如图，四边形OADB是以向量uurOA＝a，uuurOB＝b为边的平行四边形．又uuurBM＝13uuurBC，uuurCN＝13uuurCD，试用a，b表示uuurOM，uuurON，uuurMN.[活学活用]结束首页末页下一页上一页解：∵uuurBM＝13uuurBC＝16uurBA＝16(uurOA－uuurOB)＝16(a－b)，∴uuurOM＝uuurOB＋uuurBM＝b＋16a－16b＝16a＋56b.∵uuurCN＝13uuurCD＝16uuurOD，∴uuurON＝uuurOC＋uuurCN＝12uuurOD＋16uuurOD＝23uuurOD＝23(uurOA＋uuurOB)＝23(a＋b)．∴uuurMN＝uuurON－uuurOM＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.结束首页末页下一页上一页题点一向量共线的判定1．已知e1，e2不共线，则下列各式中，a与b不共线的是()A．a＝－2e1，b＝6e1B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2C．a＝2e1－15e2，b＝e1－110e2D．a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2共线向量定理的应用结束首页末页下一页上一页解析：选DA中，∵b＝－3a，∴a与b共线；B中，b＝－2a，则a与b共线；C中，b＝12a，则a与b共线；D中，设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0.∴1－3λ＝0，1＋3λ＝0，这样的λ不存在，因此a与b不共线．结束首页末页下一页上一页题点二由向量共线确定参数的值2．已知e1，e2是两个非零不共线向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)，∴(2－λk)e1＋(－1－λ)e2＝0.又e1，e2不共线，∴2－λk＝0，－1－λ＝0，∴k＝－2.故实数k的值为－2.结束首页末页下一页上一页题点三利用向量共线定理证明三点共线3．已知非零向量e1和e2不共线，如果uuurAB＝2e1＋3e2，uuurBC＝6e1＋23e2，uuurCD＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．证明∵uuurAD＝uuurAB＋uuurBC＋uuurCD＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝6(2e1＋3e2)＝6uuurAB，∴向量uuurAD与uuurAB共线．又向量uuurAB与uuurAD有共同的起点A，∴A，B，D三点共线．结束首页末页下一页上一页题点四利用三点共线求参数值4．设e1，e2是两个不共线的向量，已知uuurAB＝2e1＋ke2，uurCB＝e1＋3e2，uuurCD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．解：由题意得uuurBD＝uuurCD－uurCB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使得uuurAB＝λuuurBD.即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.由向量相等的条件，得2＝λ，k＝－4λ，∴k＝－8.结束首页末页下一页上一页用向量共线定理求参数的方法(1)三点A，B，C共线问题：利用uuurAB＝λuuurAC构造方程求参数．(2)已知向量ma＋nb与ka＋pb(a与b不共线)共线求参数的值的步骤①设：设ma＋nb＝λ(ka＋pb)；②整：整理得ma＋nb＝λka＋λpb，故m＝λk，n＝λp；③解：解方程组得参数的值．结束首页末页下一页上一页“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十七)”(单击进入电子文档)