第8章FIR滤波器和IIR滤波器原理及实现

FIR滤波器和IIR滤波器原理及实现主要内容模拟到数字滤波器的转换数字滤波器的分类及应用FIR数字滤波器的原理和结构IIR数字滤波器的原理和结构DAFIR滤波器的设计MACFIR滤波器的设计FIRCompiler滤波器的设计HLSFIR滤波器的设计模拟到数字滤波器的转换从模拟滤波器到数字滤波器的两种常用方法：微分方程近似法双线性变换法思考：设计IIR数字低通滤波器的两种方法分别是什么？模拟到数字滤波器的转换一个最简单形式的模拟到数字转换是后向差分运算，即——微分方程近似法-111-SSzT()()dxtytdt连续域：拉普拉斯变换()()YssXs1()()(1)sykxkxkT离散域：z变换11()1()sYzzXzT()()ytxtdt连续域：拉普拉斯变换()()XsYss()()(1)sykTxkyk离散域：z变换11()1()sYzzXzTz变换无法保证z域滤波器是稳定的模拟到数字滤波器的转换——微分方程近似法给定的普通巴特沃斯特特性滤波器，其传递函数表示为:可产生该模拟电路的数字近似为:21()21Hsss11(1)()()|szTHzHs1212212122212111(1)2(1)1(12)2(1)(22)(12)zzTTTzzTzTTzzT模拟到数字滤波器的转换即使一个稳定的模拟滤波器模型，但后向差分运算后并不能保证所产生的数字滤波器也是稳定的。对于稳定性的要求，通常使用双线性变换法。映射关系：s域左半平面映射到z域单位圆的内部。变换公式：通过双线性变换法产生的滤波器z域中，总是存在极点和零点。——双线性交换法11211zsTz模拟到数字滤波器的转换数字信号处理器设计软件使用双线性变换时，总是基于已知的模拟和数字滤波器原型。简单的RC电路如下图：系统的传递函数为：——双线性交换法()11()()121outinVHfVjfRCjRCVout(s)Vin(s)Vout(s)1/sCRI(s)Vin(s)CRi(t)(a)时域(b)频域图8.1简单RC电路的描述拉普拉斯变换()1()|()1outsjinVsHsVssRC模拟到数字滤波器的转换简单的RC滤波器传递函数等价于一个但极点的巴特沃斯滤波器的传递函数，该巴特沃斯滤波器的3dB截止频率为：令RC=1，则对于数字系统，设T=1，即fs=1Hz，使用双线性变换因此差分方程表示为——双线性交换法12cfRC()11()|()11outsjinVsHsVssRCs1111111111(1)11113()112(1)13112131zzzHsszzzzzz111()()(1)(1)333ykxkxkyk模拟到数字滤波器的转换——双线性交换法抗混叠滤波器VinADCADC重构滤波器Voutfsfs1/31/3y(k-1)1/3使用双线性变换后的IIR数字滤波器及系统的处理结构如下图。图8.2数字滤波器及处理系统结构注：模拟和数字的输入输出有满足滤波器性能的ADC和DAC提供。对于相同的电压输入Vin，希望观察到的两个系统的输出是相似的。数字滤波器的分类和应用数字滤波器的分类：有限冲激响应（FIR）滤波器：非递归线性滤波器无限冲激响应（IIR）滤波器：递归线性滤波器自适应数字滤波器（ADF）：能够将自身适应为预期信号，且具有自主学习能力。非线性滤波器：可以执行非线性操作，例如中值滤波器和最大/最小滤波器。数字滤波器的分类和应用数字滤波器的分类和应用数字滤波器的应用：滤除语音信号中的高频噪声的低通滤波器；能够从心电图信号中去除50Hz噪声的带阻滤波器；能够加强音乐信号（图形均衡器）中特定频带的带通滤波器；能够均衡电话信道响应的均衡滤波器；能够提取数字化的带限IF(中频)调制信号的带通滤波器；能够滤除公共场所声波中的谐振频率的陷波器；转换器中执行抽取操作的低通滤波器；中值滤波器。FIR数字滤波器的原理和结构FIR数字滤波器的特性：FIR数字滤波器的模型FIR数字滤波器的冲激响应特性FIR数字滤波器的频率响应特性FIR数字滤波器的z域分析FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性FIR数字滤波器的最小相位特性——FIR数字滤波器的特性FIR数字滤波器的原理和结构FIR数字滤波器的模型FIR数字滤波器是对N个采样数据执行加权和平均（卷积）的处理，处理过程如下式：具有3个权值（或抽头）滤波器的差分方程为：取z变换后，得到：——FIR数字滤波器的特性10()()NnnykWxkn012()()(1)(2)ykxkWxkWxkW10()()NknnYzWzXzFIR数字滤波器的模型三抽头FIR数字滤波器结构如下图所示：低通FIR数字滤波器的结构如下图所示：y(k)输出乘法器x(k)x(k-1)x(k-2)W0W1W2延迟图8.3三抽头FIR滤波器结构......x(k)x(k-2)x(k-3)x(k-N+1)WN-1WN-2y(k)W0x(k-N+2)W2x(k-1)W0W1FIR数字滤波器的模型低通FIR数字滤波器的结构如下图所示：......x(k)x(k-2)x(k-3)x(k-N+1)WN-1WN-2y(k)W0x(k-N+2)W2x(k-1)W0W1适当地选择从W0到WN-1的系数，以保证滤波器能达到设计的性能要求。图8.4一个低通FIR滤波器的结构FIR数字滤波器的模型最简单的低通滤波器为滑动平均滤波器：......x(k)0.10.1y(k)0.10.10.10-10-20-30幅度/dB频率/Hzfs/N图8.6平滑滤波器幅频特性图8.5平滑滤波器结构对N个采样值求平均值平滑去除了信号的高频部分FIR数字滤波器的模型低通FIR数字滤波器的结构如下图所示：......x(k)x(k-2)x(k-3)x(k-N+1)WN-1WN-2y(k)W0x(k-N+2)W2x(k-1)W0W1适当地选择从W0到WN-1的系数，以保证滤波器能达到设计的性能要求。图8.7一个高通滤波器的结构FIR数字滤波器的模型微分器的结构如下图所示：图8.8一阶微分器的结构x(k)1-1低频衰减高频通过1.输入为低频信号，由于相邻采样值变化很小，故输出为很小的数值。2.输入为高频信号，由于相邻采样值变化较大，故输出的幅度很大。FIR数字滤波器的冲激响应特性当一个单位冲激输入到FIR滤波器时，可在滤波器输出端获得该滤波器的冲激响应特性。FIR数字滤波器的冲激响应特性给系统施加一个单位冲激实际上相当于在所有的频率上激励系统。如果取一个冲激的离散傅里叶变化，所得的频谱图是平的。为什么呢？分析：（1）产生幅度为1而频率分别为10Hz,20Hz,30Hz,40Hz,…,200Hz的一系列正弦波。当把所有正弦波加在一起时，存在周期为10Hz，形状类似于冲激函数的信号。如图8.11所示。FIR数字滤波器的冲激响应特性分析：（2）如果将序列的频率增加至2000Hz，则冲激将变得更加尖锐。如图8.12所示。（3）减少谐波之间的频率间隔，将频率变为1Hz,2Hz,3Hz,4Hz,…,2000Hz，也减少了脉冲周期。如图8.13所示。因此在极限状态下，当频率间隔趋于0时，最后的结果只是一个冲激脉冲。FIR数字滤波器的频率响应特性对冲激响应求取离散傅里叶变换，就可获得所涉及FIR数字滤波器的幅度-频率响应和相位-频率响应特性图。傅里叶变换用来求取时域信号的频率成分。对特定频率幅度和相位的响应，求取傅里叶变换的逆变换，就可以设计出满足要求的数字滤波器。FIR数字滤波器的频率响应特性对矩形滤波器求取IDFT，则冲激响应为非因果的，且具有无限的长度。FIR数字滤波器的频率响应特性为了实现因果的冲激响应，需要在滤波器中添加延迟，相应地在频域中出现了一个相移。当截断了滤波器的长度时，对频域的影响是出现了波纹。如图8.16所示。FIR数字滤波器的z域分析给出4个权值系数的FIR数字滤波器的结构，如图8.17所示，该滤波器的传递函数的根可由下面的计算过程求得x(k)W0W1W2W3y(k)图8.174阶滤波器的结构1230123()()()()()YzWXzWXzzWXzzWXzz1230123()()()YzHzWWzWzWzXz111012330123111WzzzWzzzz123,,为滤波器的“零点”。当取这些零点的值时，H(z)=0。零点可能为复数。FIR数字滤波器的z域分析图8.17.1频响的几何表示法结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。FIR数字滤波器的z域分析FIR数字滤波器可以由三个一阶的滤波器级联构成。如图8.18所示。FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性如果滤波器的N个实值系数为对称或者反对称结构，该滤波器具有线性相位。线性滤波器特性，如图8.19所示。()(1)WnWNn经过滤波器的信号均被延迟了Δ秒FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性非线性滤波器特性，如图8.20所示。每个正弦信号的延迟各不相同FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性线性滤波器最重要的特性就是其权值为对称或者反对称的，如图8.21所示。FIR数字滤波器的线性相位及群延迟特性群延迟定义为相位响应的导数，表示：如果群延迟为常量，则相位响应一定是线性的。线性相位滤波器将各种输入频率分量延迟了相同的量，所以对称FIR滤波器具有恒定的群延迟。()()()jjdgradHegradHedFIR数字滤波器的最小线性相位特性如果滤波器的所有零点存在于z域平面中的单位圆内，就称该FIR滤波器是具有最小相位。如果滤波器的有些零点存在于z域平面中的单位圆外，就称该FIR滤波器是具有非最小相位。FIR滤波器的设计规则在实时应用中，滤波器系数越多，对FIR滤波器处理能力的要求就越高。滤波器的设计指标越接近理想滤波器，所要求的滤波器的长度也越长。在实际设计时，需要根据FIR滤波器的处理性能进行一个权衡。FIR滤波器的设计规则设计FIR滤波器所需要提供的参数有：（1）滤波器的类型：低通、高通、带通、带阻滤波器。（2）滤波器的采样频率。（3）滤波器权值的个数。（4）阻带衰减。（5）通带纹波。（6）过渡带带宽（Hz）。FIR滤波器的设计规则如图8.24，考虑设计下面的FIR低通数字滤波器，该滤波器使用凯撒窗，滤波器的截止频率为400Hz,采样频率为fs=8000Hz。FIR滤波器的设计规则如图8.25所示，该FIR数字滤波器的冲激响应需要55个滤波器权值系数。FIR滤波器的设计规则如图8.26所示，给出了该FIR数字滤波器冲激响应的DFT变换，即频率特性。可以看出其响应更加接近理想滤波器。FIR滤波器的设计规则使用帕克思-麦克莱伦窗设计FIR滤波器，如图8.27所示，给出了该滤波器的设计参数。FIR滤波器的设计规则如图8.28所示，该FIR数字滤波器的冲激响应需要181个滤波器权值系数。FIR滤波器的设计规则如图8.29所示，给出了该FIR数字滤波器冲激响应的DFT变换，即频率特性。FIR滤波器的设计规则对于一个采样率为fs，滤波器权值个数为N的数字滤波器算法，如果使用一个每秒执行M次乘-累加运算（MAC）的DSP来说，其参数应满足下面的关系例如：一个每秒执行20000000MAC/秒的DSP，采样速率为fs=8000Hz,则滤波器的最大权值个数为：N=20000000/8000=2500sMNfFIR滤波器的转置结构FIR滤波器的卷积