渗透数学思想-发展数学思维-咸阳师范学院

渗透数学思想发展数学思维【新闻】2017年6月7日，有两台机器参加全国高考数学考试。仅用了10分钟和22分钟完成，得了134分和105分。机器的学习量与记忆力远超人类，人工智能最有可能替代甚至超越人类通过死记硬背大量做题获得的知识。【案例】二战中美军飞机返回后留下弹孔，机身弹孔比引擎上的多，军方认为，应该保护机身，加装装甲。亚伯拉罕.瓦尔德却说：需要加装装甲的不应该是留有弹孔的部分，而恰恰应该装在没有弹孔的地方，即飞机的引擎。亚伯拉罕.瓦尔德（哥伦比亚大学统计学教授）飞机各部分受到损坏的概率均等，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少，为什么？胜利返航的飞机引擎上的弹孔少，是因为引擎被击中的飞机未能返回。机身千疮百孔仍能返回，充分说明机身可以经受打击。军官的假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。瓦尔德拥有的空战知识远不及军官，但他却看到了军官们无法看到的问题。思维习惯“你的假设是什么？合理吗？”问题的基本框架——“幸存者偏差”现象，是指忽略数据筛选过程的逻辑陷阱，从而得出错误的结论。2018新课标全国II卷高考作文“二战”期间，为了加强对战机防护，英美军方调查了作战后幸存飞机上的弹痕的分布，决定哪里弹痕多就加强哪里，然而统计学家沃德力排众议，指出更应该注意弹痕少的部位，因为这些部位收到重创的战机，很难有机会返航，而这部分数据被忽略了，事实证明，沃德是正确的。要求：综合材料内容及含意，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题：不要套作，不得抄袭：不少于800字。（青海、甘肃、吉林、宁夏、内蒙古、黑龙江、新疆、海南、辽宁、陕西、重庆）义务教育阶段数学学科的核心词数感符号意识空间观念几何直观数据分析观念运算能力推理能力模型思想高中阶段数学学科的核心素养数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析知识立意能力立意素养立意【问题】渗透数学思想，发展数学思维中学教师需要具备些什么？怎样做才能更有效？【案例】一次函数的图像教学流程出示（或者通过问题情景得到）一个一次函数的关系式；学生列表、描点、连线发现它的图像是一条直线；再出示一个一次函数的关系式，同样的操作后学生发现它的图像也是一条直线.师生得到一致的结论：一次函数图像是一条直线.学生：“老师，一次函数图像为什么是一条直线？”【讨论】你将如何处理呢？思路1先选择满足函数关系式的两点确定直线，然后再检验发现其他满足关系式的点也在这条直线上；思路2取满足条件的三点，求任意两点组成的直线的斜率，发现斜率是一样的，所以三点共线；思路3在函数y=kx+b的图像上任取两点，相应纵坐标的增量与横坐标的增量之比是定值，也就是k不变，所以函数y=kx+b的图像是直线.（初三或高中的知识）师：举了两个特殊的例子就确认一次函数图像是一条直线了吗？生1：指着y=2x+1的图象，认为y每次增加的幅度是x的2倍加1，增加的幅度是一样的，所以它的图象应该是一条直线而不可能是折线段.（从变量的角度思考函数的问题，而且这一解决问题的思路在有了解析几何的知识后）生2：燃香的图片放在坐标系里看会更清晰一些.于是师生共同完成了下面的过程：【讨论】1.“为什么一次函数图像是一条直线？”明显是个难点，但不是重点，我们应该如何对待这样的课堂现象呢？2.改进设计与原设计都设计了探究，差别在哪里？中小学数学学科的价值是什么？数学教师的作用？——你要给学生留下些什么？互动【案例】内角和180度你是怎么想到要研究内角和？性质是怎么获得的？【案例】《相似多边形的性质（二）》（北师大版八年级）问题如何发现、提出、分析、解决？思考什么、怎么思考？在学校学习的数学知识工作后没有机会用，一两年后，很快忘记了，然而，不管从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地地发生作用，使他们终生受益。—米山国藏《数学的精神、思想和方法》真正有价值的教育是使学生透彻理解一些普遍的原理，这些原理适用于各种不同的具体事例。在随后的实践中，这些成人将会忘记你教他们的那些特殊细节，但他们潜意识里的判断力会使他们想起如何将这些原理应用于具体的情况，直到你摆脱了教科书，烧掉了你的听课笔记，忘记了你为考试而背熟的细节，这时，你学到的知识才有价值。——【英】怀特海《教育的目的》许多世纪以来，数学是被看作训练“推理”能力的最佳学科，为什么在中小学有这么多数学课呢？无论过去还是现在，对于这个问题最普遍的回答是：“它教你思考”。——《国际展望：九十年代的数学教育》数学核心素养——数学思维——让学生学习思考——教师要教思考教师需要具备什么？理解数学理解教学理解学生理解技术（章建跃）课程性质——认识数学是一门怎样的课课程目标——数学课对学生发展的作用课程实施——如何教数学课课程评价——是否实现课程的目标（义务阶段数学课程标准（2011年版）中学教师首先需要具备课程意识数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力，而且要让他们具有数学的思维，并能应用数学的思维去分析和解决生活、工作和科学研究中的问题。—《义务阶段数学课程标准（2011年版）》【案例】教学“自然数按能否被2整除分为偶数和奇数”时，让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并形成下列板书，然后引导探究偶数和奇数的特点。自然数：偶数与奇数【中考试题】某体育用品店为推销某一品牌运动服，先做了市场调查，得到数据如表：卖出价格x/元/件50515253……销售量p/件500490480470……以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把上表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系，并求出p与x的函数式。这道题仅通过表中的四组数据，无法判断p与x的函数关系的具体表达式，满足上述四组数据的函数表达式可能很多，因而根本不能求出其解。事实上，就题目提供统计信息看，p与x的关系是随机关系，是不确定数学的问题，而不是确定性数学中的函数关系。【讨论】案例的启示？一只木桶的水容量，不是取决于那块桶帮最长的木板，而是取决于那块最短的木板。一个人某方面素质的缺失，有时会影响其他能力的发挥。一堂好课，不仅与执教老师先进的教育理念、巧妙的设计、高超的调控能力有关，根本上还取决于他的数学学科素养。启示数学教师创造思考的环境，创造对知识的理解。教师的学科深度直接影响你的教学高度。数学课程内容的再创造、教学法的加工，必须先理解数学，数学学科素养是基石。数学教师的数学学科素养扎实的数学专业基础；全面把握数学学科知识；准确把握教材的新特征，明确重点、难点与关键数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符合运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中的事物本质、关系与规律。数学是思维的科学，数学教学是思维的教学数学是一门语言，它有自己一套独立的符合系统和严谨的表达方式-阅读、表达的工具。数学学科数学教学中存在三种思维活动教师的思维活动学生的思维活动数学家的思维活动（教材）——读懂教材【案例】“实数”教材的阅读和教学思考问题1章引言说了什么？为什么要学，学什么，怎么学。问题2这一章的结构是怎样的？为什么这样安排？结构：算术平方根——平方根——立方根——实数——实数的运算编写意图：从具体到抽象，先让学生感受到“已知一个正数的平方求这个数”是可以进行的，但会出现与有理数不一样的数，建立引入新的符号表示这种新数的心向，然后类比有理数及其运算引入实数及其运算。引入算术平方根概念要做哪些事背景（现实问题、数学问题）：具体实例共同特征的归纳；定义：内涵、要素（算术平方根的意义）--符号表示、读法—性质问题1：算术平方根的性质是什么？问题2；为什么要讲根号2？如何使学生认识它？形、数结合，利用已有的数，在与有理数的比较中认识新数。平方根——重复与拓展从数学内部提出问题（已知一个正数的平方——已知一个数的平方）；具体实例共同特征的归纳；定义：内涵、要素（平方根的意义）——符号表示、读法——性质思考1：如何使学生在算术平方根的基础上发现和提出问题？思考2：从哪些角度理解平方根概念？思考3：如何使学生发现平方根的性质？思考4：开平方运算与数系扩充的关系是什么？立方根——重复与拓展思考1：如何使学生在学习平方根的基础上发现和提出问题？思考2：“立方根”的教学与“平方根”的教学可以有哪些不同？是否可以让学生自学——（章建跃，深化数学课程改革落实数学核心素养，2017-11，天津师范大学）【案例】《相似多边形的性质（二）》（北师大版八年级）【案例】设111,1ccacbbcbaabaabc求的值数学思想是指对数学知识的本质和数学规律的理性认识，是从某些数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点；数学方法则是从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等；“数学思想方法”是指对数学内容的本质认识，是数学的指导思想和一般方法、手段和途径。【案例】函数值域教师对教学内容所蕴含的数学思想方法的认识水平，决定了理解数学的高度，最终决定了你教学所达到的高度。弗赖登塔尔：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。教材是“教学法的颠倒”【问题】为什么美国水平很低的基础教育却支撑奠定了水平很高的高等教育？为什么孔子的学生中没有出柏拉图？苏格拉底的启发式：产婆术平等、开放的探讨问题式对话孔子的启发式语录式的封闭式对话【案例】瑞典小学数学教育代表团的学术交流活动中瑞教师观点的差异观摩课教师出了一道题：“鸡兔共20头，54腿，鸡兔各多少个？”教师如何教学生学会思考？数学的题目是无法穷尽的，但是指导着思维方向的数学思想方法，是可以逐一研究和掌握的，我们可以用有限去解决无限。——授人以鱼，更要授人以渔该如何教学生思考？数学思想方法为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。教师示之以思维之道，教给学生思维的方法，数学思想方法是切入点。数学教学中存在三种思维活动：教师的思维活动学生的思维活动数学家的思维活动（或隐或显存在于教材）选拔教师试题（王尚志）从你做过的题里挑出两个，用最简洁的语言概括其思路？解决的关键在哪里？这道题要考学生什么？能考出来吗？这道题出的好吗？分析这道题是怎么出出来的？为什么要出这样的试题？数学知识——数学思维活动的结果数学教学——数学思维活动或再现数学思维活动数学思想方法的作用，主要体现在它为学生提供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。数学思想方法是数学思维教学的抓手数学是思维的体操，我们需要基于思维的数学教学！怎样的教学才是基于思维的教学？当前教学主要问题：以练代思数学教育不仅是让学生获得适应社会生存所必需的数学知识和能力，而且要让他们具有数学的思维，并能应用数学的思维去分析和解决生活、工作和科学研究中的问题。义务教育数学课标（2011版）对数学思维提出的教学要求为：建立初步的数感和符号感，发展数学抽象思维和形象思维；经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。新课标中关于数学思维的要求推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；演绎推理用于证明结论的正确性。数学发现中最重要的方法是归纳和类比关于数学思维的认识脑对客观事物能动的、间接的和概括的思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。数学思维有两个方向（方面）——归纳、演绎在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，从具体事例