计算方法-最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式

第4次最佳一致逼近多项式计算方法(NumericalAnalysis)内容1.函数逼近的基本概念2.切比雪夫多项式3.最佳一致逼近多项式4.切比雪夫多项式在函数逼近中的应用5.利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子函数逼近的基本概念§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间.种度量意义下达到最小的误差在某使p(x)与f(x),中找一个函数p(x)AB数类便于计算的函要求在另一类较简单的f(x),函数对于函数类A中给定的函数逼近问题：实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。BAb成立x对于一切aε,|p(x)f(x)|使得多项式p(x),0,ε则b],C[a,f(x)ass)若1(Weierstr定理出。该证明于1912年给立。在[0,1]上一致成f(x)x)(f,Blim使得,x)(1xkn(x)其中P(1.3)(x)Pnkfx)(f,B项式Bernstein多性证明：证明：伯恩斯坦的构造nnknkkn0kkna.定理1具有重要的理论意义；b.Bernstan多项式收敛到f(x)较慢，不常用。xyy=L(x)ε的数值一致逼近的几何意义Home切比雪夫多项式由三角表达式定义的多项式•切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪夫(Chebyshev)多项式•切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳一致逼近性质的插值多项式。切比雪夫多项式的(简单)定义：称为切比雪夫多项式。(2.10)0,1,2,nsx),cos(narcco(x)T1x1表达式：对n…12xsx)cos(2arcco(x)T221cos(0)(x)T0课堂练习：推出T4(x)xx)cos(arccos(x)T13x4xsx)cos(3arcco(x)T33切比雪夫多项式的前几项：π.θ0cos(nθ),(x)Tcosθ，则若令xn切比雪夫多项式的表达式(2.11)(x).T(x)2xT(x)Tx,(x)T1,(x)T1nn1n10.1)(n,的系数为2(x)的最高次幂xT1nnn则arccosx,证明：记θ切比雪夫多项式的性质θsin(nθ)sinθcos(nθ)cos1)θcos(n1)θcos(nsθ2cos(nθ)co(x)T1n(x)T-(x)2xT1nnθsin(nθ)sinθcos(nθ)cosθ)]cos[(nθ1)θ]cos[(n(x)T1n（1）基本递推关系(2.12)0.nmπ,0,nmπ/2,n,m0,(x)dx(x)TTx11nm112cosθ，则证：令x（2）正交性cos(nθ)dθcos(mθ)π0dcosθθcos1(nθ)cos(mθ)cos(x)dx(x)TTx110π2nm112θ(nθ)dcos(mθ)cosπ00θn)θ]dcos(mn)θ[cos(m21π0当m≠n:2πθ1]d[cos(2nθ)21θ(nθ)dcos(mθ)cosπ0π0当m=n≠0πθ(nθ)dcos(mθ)cosπ0当m=n=0n)θ]cos(mn)θ[cos(m21(nθ)cos(mθ)cos根据积化和差公式：，且只含x的偶次幂.当n为偶数时为偶函数次幂;奇函数，且只含x的奇(x)当n为奇数时为Tnx，结论成立。(x)T,1x(x)1时，T0和n1）当n100利用数学归纳法证明：)次方，(x)只含x的奇(偶2为奇(偶)数时，T2）假设当nn（3）奇偶性(x)只含x的奇次方左端T只含x的奇次方，从而(x)，T(x)只含x的奇次方，则2xT情况b）如果n为偶数；(x)只含x的偶次方方，从而左端T(x)只含x的偶数次T，(x)只含n的偶次方为奇数，则2xT得知：情况a）如果n(x)T(x)2xT(x)T1的情况，由递推公式3）则对n1n1nn1n1nn1nn1n（4）切比雪夫多项式的零点n),1,2,(k,2n1)π(2kcosx的零点1,1]上有n个不同(x)在[Tkn…n),1,2,(k0]21)π(2kcos[)]2n1)π(2ks(coscos[narcco(x)T(x)的表达式，得到代入Tn),1,2,(k,2n1)π(2kcos将x证：nnk……1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。22πcos225πcos227πcos22πcos3229πcos2πcos2213πcos2215πcoscosπ图为T11(x)的零点，一共有11个,11)1,2,(k,221)π(2kcosxk…。}称为交错点组x{1，小值轮流取得最大值1和最n),0,1,2,(k,nkπcosx1个不同的极值点1,1]上有n(x)在[Tkknknnk1)(cos[kπ])]nkπs(coscos[narcco(x)T(x)的表达式，得到代入Tn),1,2,(k,nkπcos将x证：（5）切比雪夫多项式的极值点1x01x3x4x1-0x2……T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值点，4个极值点1-11-1总结：Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数，T2(x),T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。xyHome最佳一致逼近多项式§3最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论||(x)pf(x)||min||(x)pf(x)||使得误差,H(x)求多项式pb],C[a,本节讨论f(x)nHp*nn*nnn。或切比雪夫逼近问题此即所谓最佳一致逼近目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳n次多项式不超过n次的实系数多项式的全体HnC[a,b]b]上的偏差。(x)在[a,是f(x)与p(3.1)|(x)pf(x)|max||pf||)pΔ(f,称,H(x)pb],C[a,设f(x)定义7nnbxannnn。b]上的最小偏差称为f(x)在[a,(3.2)|(x)pf(x)|maxinf)}p{Δ(f,infEnbxaHpnHpnnnnn偏差的定义确定的Pn(x)对所有的Pn(x)ϵHn近多项式。近多项式，简称最佳逼逼b]上的n次最佳一致a,(x)是f(x)在[则称p(3.3)(最小偏差)，E)pΔ(f,使得,H(x)若存在pb],C[a,设f(x)定义8*nn*nn*n使得,H(x)则必存在pb],C[a,若f(x)4定理n*nE||pf||n*n最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数{an}nn2210xaxaxaap(x)证明：设n次多项式….|}p(x)f(x)|max{min)a,,a,(a使得),a,,a,a可以证明存在唯一的(bxaHp*n*1*0*n*1*0n……|p(x)f(x)|max)a,,a,(a并记bxan10…Home切比雪夫多项式在函数逼近中的应用三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用.1)(n,的系数为2(x)的最高次幂x已知T1nnn希望构造最高次幂xn系数为1的多项式：.211,1]上的极值依次达到它在[n),0,1,2,(knkπcosx(x)在T2),系数为1的n次多项式(x)是最高次幂项xT1)则(x),T21(x)T设1nknnnn1nn~~~…(x).Hp(x)|,0p(x)|max|0(x)T|max21即,21且其偏差为与零的偏差最小,(x)T21(x)T(x)中,的一切n次多项式H11,1]上首项系数为在[定理6n1x1n1x11n1nn1nnn~~三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个定理的结论非常重要多项式的插值余项为上的拉格朗日插值x,,x,1个互异节点xn1,1]上的函数f(x)在[1,1],[C问题：设f(x)n101n怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？n0jj1)(nnn)x(x1)!(n(ξ)f(x)Lf(x)(x)R偏差估计则|,(x)f|max若M1)(n1x11n|)x(x)x)(xx(x|1)!(nM|(x)R|n101nn1,1][ξ…只需令：取极小值,|)x(x)x)(xx(x|max要使n101x1最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0,x1,…xn是切比雪夫多项式的0点。…(x),T21)x(x)x)(xx(x1nnn10…1nn,,1,k,1)2(n1)π-(2kcosx:的0点(x)(x)的节点取为T值多项式L将Lagrange插k1nn致逼近的性质。(x)具有近似最佳一L此时,n…多项式，且1]上的最佳一致逼近-1,(x)是f(x)在[的0点，则L取为切比雪夫多项式Tx,...,x,其插值节点x(x)为插值多项式，L1,1],[C设f(x)定理7n1nn10n1n||(x)f||1)!(n21|(x)Lf(x)|max1)(nnn1x1-证明：||(x)T21||||(x)f||1)!(n11nn1)(n||(x)f||1)!(n211)(nn||)x(x)x)(xx(x||||(x)f||1)!(n1|(x)Lf(x)|maxn101)(nn1x1-…已知|Tn(x)|=1的0点即可。切比雪夫多项式T取为x,...,x,(x)的插值节点x只需将L(x)，逼近多项式L1,1]上的最佳一致[欲求f(x)在1,1],[C设f(x)总结：1nn10nn1ng(t)t)2ab2baf(f(x)化为1t1t,2ab2bax则函数通过变换b],[a,C设f(x)1n对任意区间[a,b]，不能直接使用定理7。例如：为将[0,1][-1,1]，可以令：1)(t21t201210x1.t1,g(t)1))(t21f(f(x)则针对g(t)使用定理7最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤(x)的插值节点。作为插值多项式Lx,...,x,0点x的T则计算切比雪夫多项式1,1],[C若f(x)1)nn101n1n的插值节点。即为Ln0,1,...,k,t2ab2bax则;t,...,t,t的0点，7。计算T针对g(t)应用定理1.t1,g(t)t)2ab2baf(f(x)t2ab2ba则令xb],[a,C2)若f(x)nkkn101n1nHome利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子(x)的插值节点为：(t)的0点可得L利用T450.02447x0.20611,x0.5,x0.79390,x0.97553,x经计算，得54321[-1,1]t1),(t21x解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk1,2,3,4,5k,π101-2kcos121xk(t)的0点T5例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近多项式L4(x),并且估计误差。01234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.024770.02447)0.20611)(x0.5)(x0.7939)(x15.82028(x0.02447).975530.20611