2019北京中考专题复习--几何综合

知识框架几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。涉及初中数学九大几何模型：1、中点类辅助线2、角平分线、垂直平分线类辅助线3、相似模型4、旋转之手拉手模型5、旋转之对角互补模型6、旋转之半角模型7、旋转之构造等边三角形8、旋转之费马点模型9、最短距离问题解题思路：从复杂的图形中“抽”出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。知识梳理中点类辅助线见中点---倍长中线：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。在△ABC中,AD是BC边中线。方式1：直接倍长，(图1)：延长AD到E，使DE=AD，连接BE几何综合例：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF方式2：间接倍长1)（图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E,连接BE2)（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD例：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.方式3：平行线间线段有中点如图：AD∥BE，F为DE中点。可构造8字全等△ADF≌△HEF。例：如图，在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点。试探究AF与CF之间的位置关系。例：如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD中点，CE⊥AB。求证：∠EMD=3∠MEA。见多个中点----构造中位线：已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。见等腰三角形底边中点----连接顶点与中点，构造三线合一直角三角形斜边中线：直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形。角平分线、垂直平分线类辅助线角平分线：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。①由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，利用角平分线性质。②以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形。③当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”④过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”例：如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.垂直平分线：a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。例：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H（1）依题意补全图形（2）求证：∠BAD=∠BFG（3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明DABC相似模型平行A字型、8字型：斜交A字型、8字型：共享型（母子型）：双共享型：双A字型：一线三等角型：旋转之手拉手模型手拉手全等特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABC≌△AB’C’（2）∠BOB’=∠BAB’（3）OA平分∠BOC’例：如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明：（1）DBCABE（2）DCAE（3）AE与DC之间的夹角为60（4）DFBAGB（5）CFBEGB（6）BH平分AHC（7）ACGF//手拉手相似特点：由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点结论：（1）△AOC∽△BOD（2）∠AEB=∠AOB例：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。求：（1）AG=CE（2）AG与CE之间的夹角为多少度？（3）HD平分∠AHE旋转之对角互补模型对角互补，邻边相等。（全等型—90°）【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③2△OCE△OCD△DCEOC21SSSOABCEDNOMABCED※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时：以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC；③2△OCD△OCEOC21SS（全等型—120°）（全等型—任意角）【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③2△OCE△OCD△DCEOC43SSS对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③注意OC平分∠AOB时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？AOBCDE旋转之半角模型角含半角要旋转：构造两次全等【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【结论】：①∠EAF=45°；【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE；【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【结论】：222DECEBD；若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论222DECEBD仍然成立FEDCBAGFEDCBAABCDEABCDEF旋转之构造等边三角形等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键.例：在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，∠ADC=30°证明：222ADCDBD。分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD、CD（作为直角边）和BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。CDABECBADECBADECBADECBAD例:如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F（1）∠BFE的度数是（2）如果21ACAD，那么BFAF（3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明例:如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F（1）求∠AFB的度数（2）求证：BF=EF（3）连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系nACAD1ADCBFEFEBCAD旋转之费马点模型“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得到的定点，BA′为定长。∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小。∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．例：四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转600得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证:△AMB≌△ENB；（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；最短距离问题三角形----两边之和大于第三边型1.直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3.点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。两点之间的距离----线段最短型4.点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。点到直线的距离----垂线段最短型5..如图，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。典例精讲【2018西城期末】如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在线段OB上，OC=2BC，AO边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°α180°）得到△OCD，C，D两点的对应点分别为点C，D，连接AC，BD，取AC的中点M，连接OM．（1）如图2，当CD∥AB时，α=________°，此时OM和BD之间的位置关系为________；（2）画图探究线段OM和BD之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【2018海淀期末】在△ABC中，∠A90°，ABAC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“2QBQA”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB2PA．图1图2备用图①如图2，点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα，∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1图2图3【2018昌平期末】已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；PPEDQBCABCABCA（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC=，BF=1，连接CF，则CF的长度为.备用图AACDBBDC5【2018丰台期末】如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC.（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.EMNFBADCEMNFBADC图2图1【2018门头沟期末】如图27-1有两条长度相等的相交线段AB、CD，它们相交的锐角中有一个角为60°，为了探究AD、CB与CD(或AB)之间的关系，小亮进行了如下尝试：（1）在其他条件不变的情况下使得ADBC∥，如图27-2，将线段AB沿AD方向平移AD的长度，得到线段DE,然后联结BE,进而利用所学知识得到AD、CB与CD(或AB)之间的关系：____________________；(直接写出结果)（2）根据小亮的经验，请对图27-1的情况（AD与CB不平行）进行尝试，写出AD、CB与CD(或AB)之间的关系，并进行证明；（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完