证明或判断等差等比数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列{}na中，若1nnaad（d为常数）或1nnaqa（q为常数），则数列{}na为等差（等比）数列．这是证明数列{}na为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}na的首项114aa，且11214nnnanaan为偶数为奇数，记2111234nnban，，，，…．（Ⅰ）求23aa，；（Ⅱ）判断数列{}nb是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）21321111144228aaaaaa，；（Ⅱ）43113428aaa，所以541132416aaa，所以1123351111111144424444baabaabaa，，，猜想：{}nb是公比为12的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242nnnnnbaaabnN，所以{}nb是首项为14a，公比为12的等比数列．评析：此题并不知道数列{}nb的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。例2．（2005山东卷）已知数列{}na的首项15a，前n项和为nS，且125()nnSSnnN（Ⅰ）证明数列{1}na是等比数列；（Ⅱ）略．解：由已知*125()nnSSnnN可得2n时1,24nnSSn两式相减得:112()1nnnnSSSS，即121nnaa，从而112(1)nnaa，当1n时，21215SS，所以21126aaa，又15a，所以211a，从而2112(1)aa．故总有112(1)nnaanN，，又11510aa，，从而1121nnaa．所以数列{1}na是等比数列．评析：这是常见题型，由依照含nS的式子再类似写出含1nS的式子，得到1nnapaq的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项na的表达式，则较繁．注意事项：用定义法时常采用的两个式子1nnaad和1nnaad有差别，前者必须加上“2n≥”，否则1n时0a无意义，等比中一样有：2n≥时，有1nnaqa（常数0）；②nN时，有1nnaqa（常数0）．二．运用等差或等比中项性质212{}nnnnaaaa是等差数列，221(0)nnnnaaaa{}na是等比数列，这是证明数列{}na为等差（等比）数列的另一种主要方法．例3．（2005江苏卷）设数列{}na的前项为nS，已知1231611aaa，，，且1(58)(52)123nnnSnSAnBn，，，，，其中AB，为常数．（1）求A与B的值；（2）证明数列{}na为等差数列；（3）略．解：（1）由1231611aaa，，，得1231718SSS，，．把12n，分别代入1(58)(52)nnnSnSAnB，得28248ABAB，解得，20A，8B．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208nnnnnSSSSn，即11582208nnnnaSSn，①又2215(1)8220(1)8nnnnaSSn．②②-①得，21215(1)58220nnnnnanaaa，即21(53)(52)20nnnana．③又32(52)(57)20nnnana．④④-③得，321(52)(2)0nnnnaaa，∴32120nnnaaa，∴3221325nnnnaaaaaa，又215aa，因此，数列na是首项为1，公差为5的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘nS的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．（高考题改编）正数数列{}na和{}nb满足：对任意自然数1nnnnaba，，，成等差数列，11nnnbab，，成等比数列．证明：数列{}nb为等差数列．证明：依题意，1002nnnnnabbaa，，，且11nnnabb，1(2)nnnabbn≥．112nnnnnbbbbb．由此可得112nnnbbb．即11(2)nnnnbbbbn≥．数列{}nb为等差数列．评析：本题依据条件得到na与nb的递推关系，通过消元代换构造了关于{}nb的等差数列，使问题得以解决．三．运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“1nk时命题成立”要会过渡．例5．(2004全国高考题)数列na的前n项和记为nS，已知11a，12(1,2,)nnnaSnn．证明：数列nSn是等比数列．证明：由11a，12(1,2,)nnnaSnn，知211213,1aSa214222Sa，111S，猜测nSn是首项为1，公比为2的等比数列．下面用数学归纳法证明：令nnSbn.(1)当2n时，212bb，成立．(2)当3n时，312332132(13)12,42Saaabb，成立．假设nk时命题成立，即12kkbb．那么当1nk时，111222111kkkkkkkkkSSSSakbSbkkkk，命题成立．综上知nSn是首项为1，公比为2的等比数列．例6．（2005浙江卷）设点1(0)(2)nnnnnAxPx，，，和抛物线2:()nnnCyxaxbnN，其中11242nnan，nx由以下方法得到：11x，点22(2)Px，在抛物线2111:Cyxaxb上，点11(0)Ax，到2P的距离是1A到1C上点的最短距离，，点11(2)nnnPx，在抛物线2:nnnCyxaxb上，点(0)nnAx，到1nP的距离是nA到nC上点的最短距离．（1）求2x及1C的方程．（2）证明{}nx是等差数列．解：（I）由题意得：2111(1,0),:7ACyxxb．设点(,)Pxy是1C上任意一点，则221||(1)APxy2221(1)(7)xxxb令2221()(1)(7),fxxxxb则'21()2(1)2(7)(27).fxxxxbx由题意：'2()0,fx即2222122(1)2(7)(27)0.xxxbx又22(,2)Px在1C上，222127,xxb解得：213,14.xb，故1C方程为2714.yxx(II)设点(,)Pxy是nC上任意一点，则222||()()nnnnAPxxxaxb令222()()()nnngxxxxaxb，则'2()2()2()(2)nnnngxxxxaxbxa．由题意得g1'()0nx，即211112()2()(2)0nnnnnnnnxxxaxbxa又2112,nnnnnxaxb11()2(2)0(1).nnnnnxxxan即11(12)20nnnnnxxa（*）下面用数学归纳法证明21nxn①当1n时，11,x等式成立．②假设当nk时，等式成立，即21,kxk则当1nk时，由（*）知110(12)2kkkkkxxa又11242,kkak11221.12kkkkkxaxk即当1nk时，等式成立．由①②知，等式对nN成立．{}nx是等差数列．评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前n项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作．四．反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例7．（2000年全国高考（理））设{}{}nnab，是公比不相等的两等比数列，nnncab．证明数列{}nc不是等比数列．证明：设{}{}nnab，的公比分别为pq，，pq，nnncab，为证{}nc不是等比数列只需证2213ccc．事实上，2222222111111()2capbqapbqabpq2222222213113311111111()()()()()ccabababapbqapbqabpq222pqpqpq，，又11ab，不为零，2213ccc，故{}nc不是等比数列．评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证{}nc不是等比数列，只要由特殊项（如2213ccc）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性．五．看通项与前n项和法若数列通项na能表示成naanb（ab，为常数）的形式，则数列na是等差数列；若通项na能表示成nnacq(cq，均为不为0的常数，nN)的形式，则数列na是等比数列．若数列na的前n项和Sn能表示成2nSanbn(a，b为常数)的形式，则数列na等差数列；若Sn能表示成nnSAqA(Aq，均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列na是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．例8．(2001年全国题)若Sn是数列na的前n项和，2nSn,则na是().Ａ．等比数列，但不是等差数列Ｂ.等差数列，但不是等比数列Ｃ．等差数列，而且也是等比数列Ｄ.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B，大大节约了时间，同时大大提高了命中率．六．熟记一些常规结论，有助于解题若数列{}na是公比为q的等比数列，则（1）数列{}na{}na（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{}nb是公比为q的等比数列，则数列{}nnab是公比为qq的等比数列；（3）数列1na是公比为1q的等比数列；（4）{}na是公比为q的等比数列；（5）在数列{}na中，每隔()kkN项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1kq；（6）11212{}{}{}{}nnnnnnaaaaaa，，，，123456789{}aaaaaaaaa，，，，等都是等比数列；（7）若()mnpmnpN，，，，成等差数列时，mnpaaa，，成等比数列；（8）232nnnnnSSSSS，，均不为零时，则232nnnnnSSSSS，，成等比数列；（9）若{log}bna是一个等差数列，则正项数列{}na是一个等比数列．若数列{}na是公差为d等差数列，则（1）{}nkab成等差数列，公差为kd（其中0kkb，，是实常数）；（2）(1){}nkknSS，（kkN，为常数），仍成等差数列，其公差为2kd；（3）若{}{}nnab，都是等差数列，公差分别为12dd，，则{}nnab是等差数列，公差为12dd；（4）当数列{}na是各项均为正数的等比数列时，数列{lg}na是公差为lgq的等差数列；（5）()mnpmnpN，，，，