兰州大学固体物理第2章晶体衍射

第二章晶体衍射§1.晶体衍射的一般介绍1.入射束通常作为晶体衍射而用的入射波有1)光子E=hν=hc/λ，λ（Å）=12.4/E（keV）若波长为1Å、E约为12.4keV，属于x-ray范围，用来作为入射束的x-ray可以是连续谱或单色的，可用来分析晶体结构。第二章晶体衍射2）中子其德布罗意波的关系是：E=λ（Å）=要使λ=1Å，则E∼0.08∼0.1eV。中子不带电，它在晶体中所受的散射主要是原子核的散射，但中子的磁距较大，主要研究磁性物质之间的相互作用。第二章晶体衍射（3）电子电子的能量与波长之间的关系：E=λ（Å）=当电子波波长为1A，E=150eV。电子在晶体中既受电子散射，又受原子散射，所以电子波在晶体中的散射很强，穿透晶体的能力很弱。第二章晶体衍射1.Bragg定律Bragg把晶体分解成相互平行的晶面，每一个晶面都相当于一个半透明的镜子，当x-ray射到晶面上时，晶面要反射一部分x-ray并将大部分x-ray透射到下一个晶面。当从相邻的晶面上来的反射波有相同的位相，称为Bragg峰，这种现象称之为Bragg反射。第二章晶体衍射第二章晶体衍射先计算相邻镜面反射的波程差是多少，相邻镜面波程差为：2dSin当波程差等于波长整数倍时，就会发生相长干涉，即当nλ=2dSin，n称为反射级，上式也称为Bragg定律，即λ与d有相同的数量级，若λ≥d则不能观察到Bragg反射。第二章晶体衍射§2.散射波振幅的推导Laue认为晶体是由放在点阵阵点上的微观物体(离子、原子团)组成，x-ray与晶体物体的相互作用归结为组成晶体的原子或原子团中的电子对电磁波的散射。第二章晶体衍射当x-ray入射到晶体中时，每个离子或原子都将作为散射中心或着说作为新的子波源，以特定的波长和特定的方向将入射波再散射出去，当从各个散射中心来的散射波相长干涉时，将出现散射波的极大值，散射波的强度决定于每个晶胞中电子的数目和电子的分布。第二章晶体衍射第二章晶体衍射1.周期函数的傅立叶分析晶体结构的特点在于平移对称性，晶体中任何一个用平移矢量联系起来的点都具有相同的物理性质。Λ（+）=Λ（），是代表如电荷密度、磁距密度、质量密度等局域性质的物理量，电子浓度为n（）=n（+），第二章晶体衍射对于任何一个周期函数常常用来处理问题的方法是作傅立叶分析，看它由什么样的平面波分量组成，波矢的取值如何，这种处理方法是处理周期结构中波动过程的基本出发点。第二章晶体衍射考虑一个具有晶体点阵周期性的函数：的付氏级数可用三角函数或指数函数来表示：=、为实数，为保证具有晶体点阵的周期性。第二章晶体衍射写成指数函数的形式：=每一个指数项叫做一个付里叶分量，是一个平面波。波矢量为：，p为整数。第二章晶体衍射第二章晶体衍射倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]；倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。第二章晶体衍射如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动过程的需要。第二章晶体衍射以上分析同样可用于三维情况，对：总可以找到一组波矢，将展成傅氏级数，这些波矢在空间的规则排列，构成三维倒易点阵：以倒易点阵矢量为波矢的平面波具有T的周期性。第二章晶体衍射2.倒易点阵矢量假定晶体点阵基矢为，倒易点阵基矢为，由下式定义：第二章晶体衍射这样定义的倒易点阵基矢和晶体点阵基矢有如下性质：同理：第二章晶体衍射用表示；表示则上式可写成：表明倒易点阵任一基矢和晶体点阵中的两基矢正交。第二章晶体衍射与正点阵相同，由倒易点阵基矢可以定义倒易点阵矢量（为整数），具有以上形式的矢量称为倒易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢量所联系的诸点的列阵。第二章晶体衍射可以证明由此定义的倒易点阵矢量正是前面由周期函数傅氏级数中的波矢，即若，则即可用展成傅氏级数，用数学式子来表示就是：若则第二章晶体衍射证：若则必有只有唯一的一组并无多组解，只要（n为正整数），则就是周期函数傅氏级数中的波矢，就是倒易点阵阵点。又：∴第二章晶体衍射傅氏级数中的波矢就是这里定义的倒易点阵矢量，故倒易点阵也就是由所联系的诸点的列阵，只要函数有平移不变性，就可以用倒易点阵矢量展成傅氏级数，或者说，一个函数如果具有晶体点阵周期性，它的傅氏级数中的波矢只能是倒易点阵矢量。第二章晶体衍射倒易点阵基矢由晶体点阵基矢定义，一个晶体点阵的倒易点阵是唯一的，尽管晶体点阵基矢有不同取法，倒易点阵基矢也不至一组，但一种晶体点阵只有唯一的一种倒易点阵与之对应。第二章晶体衍射3.简单点阵的倒易点阵(1)点阵常数为a的一维点阵正点阵基矢为不能用定义来求，要用正交关系，倒易点阵的基矢为（利用），倒易点阵矢量为为整数，∴点阵常数为的一维点阵的倒易点阵是点阵常数为的一维点阵。0cb0cVxaAˆ22aAxnaG2naa2第二章晶体衍射2)点阵常数为的二维正方点阵二维正方点阵的基矢为:、、，倒易点阵的基矢可用正交关系求得：∴，，它仍是一个点阵常数为的二维正方点阵，倒易点阵矢量xaaˆyabˆ0c2Aa0Ba0Ab2Bba2ykaxhaBkAhGˆ2ˆ2axaAˆ2yaBˆ2第二章晶体衍射（3)点阵常数为a的简单立方点阵简单立方点阵的基矢为:、、初基晶胞体积倒易点阵的基矢为：同理∴sc点阵的倒易点阵仍为sc点阵，点阵常数为,倒易点阵矢量xaaˆyabˆzacˆ3acbaVcxacbVcbacbAcˆ222yaBˆ2zaCˆ2a2zlykxhaGˆˆˆ2第二章晶体衍射4)点阵常数为a的体心立方点阵正点阵的初基矢量为：初基晶胞体积倒易点阵的基矢：这组基矢决定了的是一个面心立方（fcc）点阵，点阵常数为：)ˆˆˆ(2'zyxaa)ˆˆˆ(2'zyxab)ˆˆˆ(2'zyxac321'''acbaVc)ˆˆ(2)''(2yxacbVAc)ˆˆ(2zyaB)ˆˆ(2xzaCa4第二章晶体衍射(5).点阵常数为a的面心立方点阵面心立方点阵的基矢为:初基晶胞体积:倒易点阵基矢:同理这与体心立方点阵的初基矢量形式相同,因此面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵,点阵常数为)ˆˆ(2')ˆˆ(2')ˆˆ(2'xzaczyabyxaa341'''acbaVc)ˆˆˆ(2''2'zyxaVcbAc)ˆˆˆ(2'zyxaB)ˆˆˆ(2'zyxaCa4第二章晶体衍射在14种布拉菲点阵中，只有四种点阵的正点阵与倒易点阵不同，这四种点阵是：体心立方→面心立方面心立方→体心立方体心正交→面心正交面心正交→体心正交其他的点阵、正点阵与倒易点阵的对称操作相同，点对称性不变，倒易点阵的类型与正点阵相同。第二章晶体衍射4.倒易点阵的性质（1）基矢正交性正点阵基矢为倒易点阵基矢为则）、、（321iai）、、321(jbj）、、、321({2)(0)(2jibajijiijji第二章晶体衍射（2）倒易点阵初基晶胞体积（3）倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵本身即3)2(1cVCBACBa2CBAACb2CBABAc2第二章晶体衍射（4）晶体点阵中一组点阵平面()，以晶面指数为指数的倒易点阵矢量与这组晶面正交，并且面间距(即相邻平面之间的距离)。hklClBkAhGhklGd2第二章晶体衍射证明：若离原点最近的()晶面在、、三个晶轴上的截距为：、、，只需证明则肯定垂直于（）平面。hklabchakblcCAGCBGGhkl第二章晶体衍射∵=-==-=而∴=同理=0∴()CAOAOClchaCBOBOClchaClBkAhGCAG022)()(lchaClBkAhCBGGhkl第二章晶体衍射面间距ｄ就是或在法线方向的投影，法线方向就是的方向，此时原点也在()晶面族的某一个平面上，因此只要求出原点与()晶面之间的距离即可。∴OAOBGhklhklGGClBkAhhaGGoAdhklhkl2)(第二章晶体衍射上面的结果表明了晶体点阵中的一组晶面可用倒易点阵中的一个阵点来表示(∵定义了倒易点阵中的一个阵点,也就是说这组平面的法线与面间距均可用来表示，这组晶面就是唯一确定了)。知道了的方向，晶面组的法线就确定，并且面间距也确定了，一个晶面组反映在倒易点阵中是一个阵点，就是以面指数为指数的倒易矢量:GGGClBkAhG第二章晶体衍射（5）以倒易点阵矢量为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性质以为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性,既平移后平面波不变,因为则GrGiTGirGiTrGirGieeeee)(nTG2第二章晶体衍射正因为如此,一个有晶体点阵的周期性的函数才能展成波矢为的傅氏级数,也就是说只有的波才有周期性,才能存在，而不是任意平面波都有周期性，只有的波才与晶体的周期性相协调。GkGkG第二章晶体衍射5.劳厄衍射条件定理：一组倒易点阵矢量确定可能的x-ray反射(所谓x-ray反射是由各个方向的反射波发生相长干涉而来的)，所有的对应了可能的反射束。由于一个对应一个可能的反射束，另一个对应另一个可能的反射束，故x-ray反射的图象就是倒易点阵的沿某个晶带轴的映象(不是晶体点阵的映象)。GGGG第二章晶体衍射下面来证明劳厄衍射条件，如图：第二章晶体衍射考虑晶体中的体元距原点为，晶体中各个方向的散射波相长干涉时相差的两点间的散射波有一个波程差与位相差〔若散射是弹性散射，即〕，则入射波的波程差，散射波的波程差，由于有这样一个波程差，相应的位相差为入射波：散射波：总的位相差：相距两点的散射波相差的相因子为：dvrr'kksinrsinrrkrsin2rkr'sin2rkk)'(rkkie)'(r第二章晶体衍射对于x-ray的衍射来说，散射波的振幅与体元中的电子数(或电子浓度)成正比，从位于处体元的散射振幅正比于，为电子浓度，考虑到位相差与原点处位置的差别，则散射振幅(未考虑比例因子)∴在整个晶体中散射波的振幅为：这也就是整个晶体对散射波振幅的贡献。dvdvrdvrn)()(rndvrneurkki)()'(dvrneurkki)()'(晶体第二章晶体衍射为方便起见，引入，称为散射矢量，即散射过程中波矢的改变量，则整个晶体对散射波振幅的贡献为：是具有晶体点阵周期性的函数。可把展成傅氏级数：(把展成了傅氏级数)代入上式得:kkk'rkierdvnu)()(rn)(rn)(rnGrGiGenrn)(GrkGiGedvnu)(第二章晶体衍射当时(即等于某一倒易点阵矢量时)，相因子为1，积分后这项为为极大值，而对于≠的其它各项基本上趋于零∴要使为极大，则，若≠，就是一个小量，=就是Laue衍射条件，这也是各阵点的散射波相长干涉的条件Gk