复变函数与积分变换试题及答案5

复变函数与积分变换试题与答案一判断正确与错误（每题3分）1．若(,)uxy与(,)vxy都是调和函数，则()(,)i(,)fzuxyvxy是解析函数。（）2．因为|sin|1z，所以在复平面上sinz有界。（）3．若()fz在0z解析，则()()nfz也在0z解析。（）4．对任意的z，2Ln2Lnzz（）二填空（每题3分）1．i22i，iarg22i。2．ln(3i)，ii。3.在映照2()24fzzz下，曲线C在iz处的伸缩率是，旋转角是。4.0z是241ezz的阶极点，241Re[,0]zesz。三解答题（每题7分）1.设2222()i()fzxaxybycxdxyy。问常数,,,abcd为何值时()fz在复平面上处处解析？并求这时的导数。2.求13(1)的所有三次方根。3．2dCzz其中C是0z到34iz的直线段。4．||2ecosdzzzz。(积分曲线指正向)5．||2d(1)(3)zzzzz。(积分曲线指正向)6将1()(1)(2)fzzz在1||2z上展开成罗朗级数。7.求将单位圆内||1z保形映照到单位圆内||1w且满足1()02f，1πarg()22f的分式线性映照。四解答题（1,2,3题各6分,4题各9分）1．求00()e0kttftt（k为正实数）的傅氏变换。2.设22()eesin6()ttfttttt,求()ft的拉氏变换。3.设221()(1)Fsss，求()Fs的逆变换。4.应用拉氏变换求解微分方程23e(0)0,(0)1tyyyyy复变函数与积分变换试题答案一判断正确与错误（每题3分）1若(,)uxy与(,)vxy都是调和函数，则()(,)i(,)fzuxyvxy是解析函数。（×）2．因为|sin|1z，所以在复平面上sinz有界。（×）3．若()fz在0z解析，则()()nfz也在0z解析。（√）4．对任意的z，2Ln2Lnzz（×）二填空（每题3分）1．i222i4，i3πarg[]22i4。2．πln(3i)ln3i2,π2πi2iek。3.在映照2()24fzzz下，曲线C在iz处的伸缩率是42，旋转角是π4。4.0z是241ezz的3阶极点，241e4Re[,0]3zsz。三解答题（每题7分）4.设2222()i()fzxaxybycxdxyy。问常数,,,abcd为何值时()fz在复平面上处处解析？并求这时的导数。解:因为2uxayx,2uaxbyy,2vcxdyx,2vdxyy,(2分)则对任意的(,)xy有uvxyuvyx即2222xaydxyaxbycxdy(1分)可得:2,1adbc(2分).这时,()i2()2i()22iuvfzxyxyzzxx或(2分)5.求13(1)的所有三次方根。解:132+12+1(1)cosπ+isinπ0,1,233kkk(4分),0ππ13cos+isin=+i3322w,1cosπ+isinπ=1w,25π5π13cos+isin=i3322w(3分)3．2dCzz其中C是0z到34iz的直线段。解:原式3332234i34i00(34i)[d][](233zzz分分分)或原式34132333300444(1i)d(1i)[]9(1i)(23333xxx分分分)4．||2ecosdzzzz。(积分曲线指正向)解:原式=0.(7分)5．||2d(1)(3)zzzzz。(积分曲线指正向)(2012πiRes[,0]Res[,1](311πi2πi[limlim](2(1)(3)(3)6zzffzzzz分)解:原式分)=分)6将1()(1)(2)fzzz在1||2z上展开成罗朗级数。110111(1](33212nnnnzzzz解:原式分)=-分)7.求将单位圆内||1z保形映照到单位圆内||1w且满足1()02f，1πarg()22f的分式线性映照。i12()e(4112zwfzz解:设分),则i14π()e(2232f分),故21i(22zwz分).四解答题（1,2,3题各6分,4题9分）1．求00()e0kttftt（k为正实数）的傅氏变换。i(i)0011()eed(2[e]iikttktFtkk解:分).3.设22()eesin6()ttfttttt,求()ft的拉氏变换。322116()1(1,2,2,1)(1)(2)36Fssss解:分6.设221()(1)Fsss，求()Fs的逆变换。(1)2211[()][][]sin(2.5,2.5)1Fsttss分-1-1-1解:LLL分4.应用拉氏变换求解微分方程23e(0)0,(0)1tyyyyy21()(0)(0)2[()(0)]2(),(3)1sYssyysYsyYss解:因为分所以(2)2311()(2)(1)(1)(3)8(1)4(1)8(3)sYsssssss分分33311151()eee(2)()chshe(2)848888ttttytyttt分或分