研究生固体物理考试复习-5-7章

第五章自由电子论一、Sommerfeld自由电子模型二、Born－Karmen周期性边界条件Nkkrrak的取值不连续(k)＝38V24S2L三维二维一维三、能态密度NEdE224kkdk22kkdk22kdk3/21/22322VmNEE2mSNE1/21/22LmNEE三维二维一维自由电子能量：222kEmk（等能面为球面）费米球、费米面、费米能EF0、费米半径kF、费米速度VF和费米温度TF等概念。0NfENEdET=003/20023FEFNEdECE自由电子总数：四、Fermi－Dirac统计T=0时fE{100FEE0FEE3/23/202323FVmE2/3222/30223322FNEnmVm费米能：自由电子系统总能量：00UEfENEdET=005/20025FEFENEdECE金属：n：1022~1023cm－3，EF0~几个eV，TF:104~105K。035FNET0时1exp1BfEEkTFermi－Dirac分布函数强简并情况：EF12fE=时exp0BEfEkT当E-几个kBT时当-E几个kBT时1fE四、Sommerfeld展开式（证明过程不要求）及其应用2206FBFfEQEdEQEkTQEEF：由自由电子的总数N求得22006FEBFNfENEdENEdEkTNE220112FFFTEET对金属，由于EF0kBT或TFT，所以，EFEF0。22eBFdUTCNkdTT电子热容量：由自由电子系统的总能量U求出0UEfENEdE2206FFEBEEdENEdEkTENEdEPauli顺磁磁化率：2222200031121212BFFFNTTETT同样，对金属，EF0kBT或TFT，所以0，即金属的顺磁磁化率基本上不随温度变化而变化。对金属，EF0kBT或TFT，所以，常温下CeCL，可以不必考虑电子热容量的贡献，与实验结果符合。而在很低温度下，电子热容量与晶格热容量同数量级，这时电子热容量的贡献不可忽略。五、热电子发射与接触电势热电子发射：2expBWjATkTW：功函数不同金属间的接触电势来自不同的金属具有不同的费米能。不同的金属有不同的功函数，对金属：W~几个eVWiegrmann－Franz定律：223BKkTeLorenz数：22.3BKkLconstTe六、自由电子的输运问题（推导过程不要求）导电率：2Fnem许多金属的实验结果证实了Wiedemann－Franz定律的正确性。Hall效应：1HRnq对金属，由于其费米能很高，EF0kBT（TFT），所以，尽管金属中有大量的自由电子，但对金属性质有贡献的仅是费米面附近的一小部分电子，而能量比费米能低得较多的电子不能吸收外界的能量而跃迁到高能态，而仍保持原来T＝0时的状态，对金属的性质没有贡献。七、自由电子论的成功与局限性成功：电子热容量；Pauli顺磁；热电子发射与接触电势；Wiedemann－Franz定律等。困难：一价金属的导电率比二价、三价金属高；有些金属的Hall系数大于零；电子的平均自由程远大于原子间距；固体材料分为导体、半导体和绝缘体；实际金属的费米面基本上都不是球面。常用公式：0032FFNNEENEdE3/21/22322VmE2mS1/21/22LmE三维二维一维（三维）0NfENEdE0UEfENEdE220112FFFTEET2206FBFfEQEdEQEkTQE1exp1FBfEEEkT本章要求：自由电子模型，自由电子能量和波函数；自由电子的能态密度（一维、二维、三维）；T＝0时电子的分布，费米能、费米面、费米半径、费米速度和费米温度等概念；Sommerfeld展开式及其应用（求EF和Ce等）；热电子发射和接触电势；金属的导电率、Wiedemann-Franz定律、Hall效应；自由电子论的成功与局限性。基本公式和基本物理量的数量级（n、EF0、TF和W等）。第六章能带论基础三、Bloch定理Bloch函数：ieukrkkrr二、周期场模型iekr描述电子的共有化运动，反映电子在运动过程中其位相随位置的变化。波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数。ukr描述电子的原子内运动，反映电子与晶格相互作用的强弱，表现为电子的振幅随位置的周期性变化。一、能带论的基本假设：Born－Oppenheimer绝热近似Hatree－Fock平均场近似四、近自由电子近似（微扰计算不要求）1.近自由电子模型2.主要结果：在离布里渊区边界面较远处，周期场的影响很小，电子的运动与自由电子非常接近；周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，电子的能量会偏离自由电子能量，而在布里渊区边界处电子的能量发生突变：E＝2Un注意三维情况与一维情况的差别，能带重叠的条件。3.近自由电子近似主要适用于处理金属价电子所形成的能带。五、紧束缚近似（微扰计算不要求）1.紧束缚模型2.结果：0sikjsEJJe近邻格矢sRRkR1ijeNkRkRrrRsJR(Rs＝近邻格矢)为近邻原子间电子波函数的重叠积分，其大小决定所形成能带的宽度。3.适用范围：原子的内层电子所形成的能带；过渡金属的d电子能带；绝缘体、化合物和某些半导体的价带。六、En(k)函数的三种布里渊区图象对同一能带:nnnnnnEEEEEEkk+Gkkkk七、电子能带的对称性简约布里渊区图象扩展布里渊区图象周期布里渊区图象来自晶格的周期性来自晶体的宏观对称性来自时间反演对称性九、能态密度与费米面1.能态密度：2dSNEE等能面kk八、简约区中自由电子能带的表示法22(0)(0)2nnEEmnnkk+Gk+G自由电子能量：对于二维、三维晶体，通常都是沿某对称轴方向求出En(k)函数的表达式，画出En(k)－k的曲线，给出相应的简并度。N(E)E近自由电子的能态密度紧束缚近似的能态密度（简单立方的s带）EN(E)在能带底和能带顶，电子的能态密度为零，而在能带中的某处能态密度达到最大。若电子的能量函数E(k)已知，即可根据上式求出其能态密度。对于等能面为椭球面的情况，可先求出在能量为E的椭球中的能态总数Z(E)：dZNEdE能态密度：2ZEkk空间中能量为E的椭球体积2.近自由电子的费米面222224FFSNkkk（二维）：平均每个原子的价电子数，即电子浓度或电子－原子比S：二维晶体的面积简约区内切球（圆）的半径k1简约区内切球（圆）的饱和电子浓度（饱和电子－原子比）2112Nkk（二维）常用公式：Bloch函数：ieukrkkrr布里渊区边界处近自由电子的能量突变：2nEU紧束缚近似：0expsjssEJJi近邻格矢RkRkR自由电子能量：2222'22nnkEmmkkG能态密度：2dSNEE等能面kk价电子总数：334283FVNk（三维）能带论的基本假设和周期场模型；Bloch定理和Bloch函数的物理含义；近自由电子模型、主要结果及适用的对象，给定简单的周期场，求出近自由电子相应的能隙；紧束缚近似的模型、主要结果（波函数和能量本征值）及适用的对象，会利用紧束缚近似的结果求出简单晶体s态电子的能带表达式E(k)及能带的宽度；电子能带的对称性及其来源，给定晶体结构，会求出沿给定对称轴自由电子能量最低的前几条曲线的表达式，画出En(0)(k)－k曲线的示意图，并标出各能量曲线的简并度；本章要求：能态密度的一般表达式，给定E(k)函数，求出相应的能态密度及特殊形状等能面的能态密度；近自由电子的费米面，费米面的构造步骤与修正依据；给定晶体结构和电子浓度（即平均每个原子贡献的价电子数），求相应自由电子的费米半径kF，画出相应的近自由电子在简约区中各能带的费米面图形；简约区的内切球（圆）k1和外接球（圆）半径k2及其相应的饱和电子浓度（即饱和电子－原子比）。第七章晶体中电子在恒定电场磁场中的运动一、准经典运动1.波包的概念2.准经典运动的基本方程1EddtkvkF{3.电子的加速度1ddEdtdtkkvka21EkkF4.有效质量概念倒有效质量张量222222222222211xxyxzyxyyzzxzyzEEEkkkkkEEEmkkkkkEEEkkkkk在一般情况下，电子的加速度与所受的外场力的方向并不一致。倒有效质量是对称张量，存在主轴方向，沿张量的主轴方向，有效质量可对角化；有效质量中包含了周期场对电子的影响；在一般情况下，有效质量是二阶张量，特殊情况下也可退化为标量；有效质量可大于电子的真实质量，也可小于电子的真实质量，还可以为负值；在能带底电子能量E(k)取极小值，所以m*0；在能带顶E(k)取极大值，所以m*0。空穴是一种带正电荷e，具有正的有效质量m*的准粒子；空穴反映的是近满带中所有电子的集体行为，它不能脱离晶体而单独存在，只是一种准粒子；电子导电性：导带底有一些电子所产生的导电性；空穴导电性：价带顶缺少一些电子所产生的导电性；金属中的载流子既可以是电子也可以是空穴。5.空穴的概念：二、导体、绝缘体和半导体导带、满带和近满带的导电能力；导体、绝缘体和半导体能带结构及其对导电性的影响；半导体的本征导电性与非本征导电性；金属导体和半导体的本征导电率（或电阻率）随温度的变化规律有何不同？其导电机制有何不同？二价碱土金属之所以是金属导体的原因是由于其最外层的ns能带与其上面的能带发生能带重叠，如何从其X射线发射谱的谱线形状来证实？X射线发射谱：电子在价电子能带中填充情况的实验验证；金属与非金属X射线发射谱有何不同（主要表现在高能端）。三、电子在恒定电场和磁场中的运动1.电子在恒定电场中的运动图象在k空间中的运动图象：电子在k空间中作循环运动电子速度作周期振荡在实空间中的运动图象：电子在实空间中作往返振荡电子的振荡过程很难被观察到，原因：电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间太短及加在样品上的外电场不可能太强。2.在恒定磁场中的运动图象在k空间中的运动图象：在k空间中电子的运动轨迹是一条垂直于磁场的等能线在实空间中的运动图象：在实空间中电子的运动轨迹是一条沿磁场方向的螺旋线3.准经典运动方程：在k空间中及实空间中4.自由电子的量子理论（推导过程不要求）图象：实空间中垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一简谐振子，其量子化能级称为朗道能级四、电子回旋共振和DeHaas－VanAlphen效应1.电子回旋共振：基本原理：应用：测量半导体导带底附近的电子和价带顶附近的空穴的有效质量，研究其能带结构2.DeHaas－VanAlphen效应基本原理：与金属费米面附近的电子在低温强磁场的行为