天津理工大学概率论与数理统计第六章习题答案详解

49第六章数理统计的基本概念一.填空题1.若n,,,21是取自正态总体),(2N的样本，则niin11服从分布)n,(N2.2.样本),,,(nXXX21来自总体),(~2NX则~)(221nSn)(1χ2n；~)(nSnX_)(1nt__。其中X为样本均值，ninXXnS12211)(。3.设4321XXXX,,,是来自正态总体).(220N的简单随机样本，221)2(XXaX243)43(XXb，则当a201a时，b1001b时，统计量X服从2X分布，其自由度为2.4.设随机变量与相互独立,且都服从正态分布(0,9)N,而129(,,,)xxx和129(,,,)yyy是分别来自总体和的简单随机样本,则统计量129222129~xxxUyyy(9)t.5.设~(0,16),~(0,9),,XNYNXY相互独立,129,,,XXX与1216,,,YYY分别为X与Y的一个简单随机样本,则2221292221216XXXYYY服从的分布为(9,16).F6.设随机变量~(0,1)XN,随机变量2~()Yn,且随机变量X与Y相互独立,令XTYn,则2~TF(1,n)分布.解：由XTYn,得22XTYn.因为随机变量~(0,1)XN,所以22~(1).X再由随机变量X与Y相互独立,根据F分布的构造,得22~(1,).XTFnYn507.设12,,,nXXX是总体(0,1)N的样本,则统计量222111nkkXnX服从的分布为(1,1)Fn(需写出分布的自由度).解：由~(0,1),1,2,,iXNin知222212~(1),~(1)nkkXXn,于是22122211(1)1~(1,1)./11nknkkkXnXFnXnX8.总体21234~(1,2),,,,XNXXXX为总体X的一个样本,设212234()()XXZXX服从F(1,1)分布(说明自由度)解：由212~(0,2)XXN,有2212~(1)2XX,又234~(0,2)XXN,故2234~(1),2XX因为2122XX与2342XX独立,所以21234~(1,1).XXFXX9.判断下列命题的正确性：(在圆括号内填上“错”或“对”)(1)若总体的平均值与总体方差2都存在，则样本平均值x是的一致估计。(对)(2)若0)ˆ(E则称为的渐近无偏估计量.(错)(3)设总体X的期望E(X)，方差D(X)均存在，21xx,是X的一个样本，则统计量213231xx是E(X)的无偏估计量。(对)(4)若)ˆ()ˆ(21EE且)ˆ()ˆ(21DD则以2估计较以1估计有效。(错)51(5)设n为的估计量，对任意0，如果0}|ˆ{|limnnP则称n是的一致估计量。(对)（6）样本方差niinXXnD1211是总体),(~2NX中2的无偏估计量。211niiXXnD*是总体X中2的有偏估计。（对）10.设321XXX,,是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量3213321232111214331ˆ,1254131ˆ,2110351ˆXXXuXXXuXXX都是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则2ˆ最有效.二、选择题1、设总体服从正态分布),(2NN，其中已知，未知，321,,是取自总体的一个样本，则非统计量是(D).A、)(31321B、221C、),,max(321D、)(123222122、设n,,21是来自正态总体),(2N的简单随机样本niinS1221)(11，niinS1222)(1，niinS1223)(11，niinS1224)(1，则服从自由度为1n的t分布的随机变量是(B).A、1/1nSB、1/2nSC、nS/3D、nS/43、设)2,1(~2N，n,,21为的样本，则(C).A、)1,0(~21NB、)1.0(~41NC、)1,0(~/21NnD、)1,0(~/21Nn4、设n,,21是总体)1,0(~N的样本，S,分别是样本的均值和样本标准差，则有(C)A、)1,0(~NnB、)1,0(~NC、niinx122)(~D、)1(~/ntS5..简单随机样本(XXXn12,,,)来自某正态总体，X为样本平均值，则下述结论不成立的是(C)。52(A)X与(¡)XXiin21独立(B)Xi与Xj独立(当ji)(C)Xiin1与Xiin21独立(D)Xi与Xj2独立(当ji)6.设1n21X,,X,X，来自总体2n21211Y,,Y,Y),,(N~X,X来自总体Y£,),(N~Y222，且X与Y独立。21n1i,i2n1i,i1,Yn1Y,Xn1X21211n1i2,i22n2n1i2,i12n1,)YY(n1S,)XX(n1S则如下结论中错误的是(D)。(A))1,0(N~nn)]()YX[(22212121(B))1n,1n(F~SS)1n(n)1n(n212n22n12122122121(C))2nn(~SnSn212222n22212n1121(D))2nn(t~2nn21217.设nXXX,,21是取自总体),0(2N的样本，则可以作为2的无偏估计量是(A).A、niiXn121B、niiXn1211C、niiXn11D、niiXn1118.3、设321,,XXX是来自母体X的容量为3的样本，32112110351ˆXXX，32121254131ˆXXX，3213216131ˆXXX，则下列说法正确的是(B).A、321ˆ,ˆ,ˆ都是)(XE的无偏估计且有效性顺序为321ˆˆˆB、321ˆ,ˆ,ˆ都是)(XE的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为312ˆˆˆC、321ˆ,ˆ,ˆ都是)(XE的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为123ˆˆˆD、321ˆ,ˆ,ˆ不全是)(XE的无偏估计，无法比53三.计算题1、在总体)2,30(~2NX中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X在29到31之间取值的概率.解：因)2,30(~2NX，故)162,30(~2NX，即))21(,30(~2NX)221302()3120(XPXP9544.01)2(2)2()2(2、设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2NX(单位：小时)，抽取一容量为9的样本，其均方差100S，问)940(XP是多少？解：因2未知，不能用),1000(2nNX来解题，而)1(~ntnSXT)8(~3tSXT)()(39403940SSXPXP，而1000,100S)940(XP)8.1()1003)1000940((TPTP)8.1(TP由表查得056.0)8.1()940(TPXP3、设721,,XXX为总体)5.0,0(~2NX的一个样本，求712)4(iiXP.解：)5.0,0(~2NX)1,0(~2NXi7171222)7(~4)2(iiiixXX717122025.0)164()4(iiiiXPXP4、设总体)1,0(~NX，从此总体中取一个容量为6的样本654321,,,,,XXXXXX，设26542321)()(XXXXXXY，试决定常数C，使随机变量CY服从2x分布.解：)3,0(~321NXXX，)3,0(~654NXXX)1,0(~3321NXXX，)1,0(~3654NXXX)2(~)3()3(226542321xXXXXXX54即)2(~)(31)(31226542321xXXXXXX31C时，)2(~2xCY5、设随机变量T服从)(nt分布，求2T的分布.解：因为nYXT/，其中)1,0(~NX，)(~2nxY，nYXnYXT/1//222)1(~22xX),1(~2nFT6.利用t分布性质计算分位数t0.975(50)的近似值。(已知~N(0，1)，p(1.96)=0.975)解:当n足够大时，t分布近似N(0，1),当u~N(0，1)时，分位数u1-近似t1-(n)。而p{uu0.975}=0.025时，u0.975=1.9262，t0.975(50)27.设,,X,X21Xn为来自有均值和r阶中心矩r的总体X的样本，试证明rniriXnE11。又此式说明总体的r阶矩与样本r阶矩有什么关系？证：rnirnirinirinXEnXnE111111上述结果表明总体的r阶矩与样本的r阶矩相等,说明样本的r阶中心矩是总体X的r阶中心矩r的无偏估计。8.设总体2~(0,2)XN,1210,,,XXX为来自总体X的样本.令2251016ijijYXX.试确定常数C,使CY服从2分布,并指出其自由度.解：由2~(0,2)XN,得~(0,1),1,2,,10.2iXNi又1210,,,XXX互相独立,55故5101611~(0,5),~(0,5),22ijijXNXN10561~(0,1),~(0,1),2525jijiXXNN且二者独立.从而有225102161~(2),20ijijXX得21,20C分布的自由度为2.9.设124125,,,,,,XXXYYY与分别是来自正态(0,1)N的总体X与Y的样本,452211()()iiiiZXXYY,求EZ.解:方法1:由212()222~(1),(1)1,1niiXXnEnn可得4221()~(3),iiXX521)iiYY2~(4),347EZ.方法2:2211()()1,1niiESEXXDXn22221212(34)34347EZESSESES.10.设XY,是取自母体N(，2)，容量为n的两个相互独立的样本X1、X2、、Xn及Y1、Y2、、Yn的均值，试确定n，使这两个样本均值之差超过的概率大约为0.01。(已知(2.58)=0.995)解：由于X及Y均服从nN2,则22,0~nNYX要01.02)2(nnYXPYXP即99.02)2(nnYXP即99.0122n即995.02nn2258..取n=14