精选最新-2.5--一元二次方程根与系数的关系

2.5一元二次方程根与系数的关系第2章一元二次方程1234567891011121314151617181．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当____________时，方程有实数根x1，x2.这两个根与系数的关系是：x1＋x2＝________，x1·x2＝________．运用根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即__________．b2－4ac≥0bacab2－4ac≥0返回1知识点一元二次方程根与系数的关系2．(中考·新疆)已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是()A．－3B．－2C．3D．6A返回3．(2016·黄冈)若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝()A．－4B．3C．－43D.43D返回4．(中考·江西)已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是()A．x1＋x2＝－52B．x1·x2＝1C．x1，x2都是有理数D．x1，x2都是正数D返回5．已知方程x2－2x－1＝0，则此方程()A．无实数根B．两根之和为－2C．两根之积为－1D．有一根为－1＋C2返回6．(中考·广西)已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A．x2－7x＋12＝0B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝0A返回7．(中考·黔东南州)已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为()A．2B．－1C．－12D．－2D1211xx返回8．(中考·烟台)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x21－x1＋x2的值为()A．－1B．0C．2D．3D返回9．(中考·枣庄)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是()A．－10B．10C．－6D．2A返回2知识点一元二次方程根与系数关系的应用10．(中考·呼和浩特)已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，且m≠n，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是()A．6B．3C．－3D．0A返回11．(中考·烟台)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为()A．－1或2B．1或－2C．－2D．1D返回12．如果关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根是另一个根的2倍，那么m，n之间的关系为()A．2m2＝nB．2m2＝9nC．m2＝9nD．m＋n＝0B返回13．(中考·贵港)若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则ab＋ba的值是()A．3B．－3C．5D．－5D返回14．(中考·天门)若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为()A．－13B．12C．14D．15B返回15．(中考·黄冈)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋10，解得k.141题型一元二次方程根与系数的关系在求字母中的应用(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x21＋x22的值．当k＝1时，方程为x2＋3x＋1＝0，∴x1＋x2＝－3，x1x2＝1，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.返回16．(中考·鄂州)关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0.(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根．2题型一元二次方程根与系数的关系在探究代数式值中的应用16．(中考·鄂州)关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0.(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根．证明：当k＝1时，原方程可化为2x＋2＝0，解得x＝－1，此时该方程有实数根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ＝(2k)2－4(k－1)×2＝4k2－8k＋8＝4(k－1)2＋40，∴方程有实数根．综上所述，无论k为何值，方程总有实数根．(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．1221xxxx＋解：由根与系数的关系可知若S＝2，则：即121222.11kxxxxkk＋＝－，＝－－121221=2xxxxxx＋，212121212()2=2xxxxxxxx，将带入整理得k2－3k＋2＝0，解得k＝1(舍去)或k＝2.∴S的值能为2，此时k＝2.12122211kxxxxkk＋＝－，＝－－返回17．(中考·泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；3题型一元二次方程根与系数的关系在三角形中的应用解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，∴m2－2m－24＝0，∴(m－6)(m＋4)＝0，∴m1＝6，m2＝－4.由题意Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，知m＝－4不合题意，∴m＝6.(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．①当7为腰长时，则另一腰长7为方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一个根．将x＝7代入得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，整理得m2－14m＋40＝0，即(m－4)(m－10)＝0，∴m1＝4，m2＝10.当m＝4时，原方程为x2－10x＋21＝0，∴(x－7)(x－3)＝0，∴x1＝7，x2＝3，即另一边长为3.7，7，3能组成三角形，此时周长为7＋7＋3＝17.当m＝10时，原方程为x2－22x＋105＝0.∴(x－7)(x－15)＝0，∴x1＝7，x2＝15，即另一边长为15.7，7，15不能组成三角形，故舍去．②当7为底边长时，方程有两个相等的实数根，Δ＝4(m＋1)2－4×1×(m2＋5)＝8m－16＝0，∴m＝2.此时方程为x2－6x＋9＝0，∴(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝3.7，3，3不能组成三角形，故舍去．∴这个三角形的周长为17.返回18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．4题型一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用解：(1)存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0，解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数的关系得1212266aaxxxxaa＋＝－，＝－－由－x1＋x1x2＝4＋x2，得x1＋x2＋4＝x1x2，∴，解得a＝24.经检验，a＝24是方程的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立．2466aaaa－＝－－2466aaaa－＝－－(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．要使(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝为负整数，且a为整数，则6－a为－1，－2，－3或－6.解得a＝7，8，9或12.2166aaaa－－－66a返回