误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1

开课单位：精密仪器与机械学系任课教师：尉昊赟（[e-mail]）李岩（[e-mail]）误差理论与数据处理清华大学本科生选修课课号：00130172第2页ππΔel2Δle3．周期系统误差的消除方法——半周期法仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心e引起的刻度示值，误差呈周期性变化，即误差sineL系统误差的减小和补偿第3页测角仪半周期法实例系统误差的减小和补偿第4页对径读数！半周期法实例系统误差的减小和补偿第二章误差的基本性质与处理第一节概率、随机误差第二节系统误差第三节粗大误差（异常值）第6页在GUM中，不再使用原数理统计中的粗大误差或疏忽误差的术语，而改称“异常值”（abnormalvalue)。异常值(粗大误差）是测量过程中操作者的偶然失误或环境的突发干扰造成的。含有粗大误差的测量数据，相对于正常数据来说误差较大。对已确知是在受到外界不正常干扰下测得的数据，或经检查是错读、错记的数据，则应舍弃。但不能在不知原因的情况下不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据，这样可能造成错觉，会对余下数据的精度作出过高的估计。因此就有一个确立判别异常值(粗大误差）界限的问题。异常值第7页两个错误做法：凭主观臆断，轻易地剔除主观认定为反常的数据，从而人为地使测得数据一致起来；不敢舍弃任一个测得数据，一概当作是正常信息。处理原则：异常值的界限应以随机误差的实际分布范围作为依据，即超出该范围的误差，可被视为异常值而予以剔除。异常值第8页1）3准则（莱以达准则）在测量结果（测量列）中，若某一数据的残差的绝对值|v|＞3σ时，则剔除此数据。课堂问题讨论：如何从正态分布曲线理解该准则？异常值判断准则第9页具体步骤：1）先按Bessel公式算出实验标准偏差σs，2）然后用3σs来检查所有的残余误差vi，若某一个|vi|3s，则可视为粗大误差予以剔除。3）然后重新计算标准偏差s，再将新算出的残余误差进行判断，每一次只能剔除一个vi绝对值最大的测值作为粗大误差，直到不存在粗大误差为止。课堂问题讨论：1）为什么每一次只能剔除一个vi最大的测值作为粗大误差？一次剔除两个行不行？2）若vi绝对值最大的测值同时有两个相同怎么办？异常值判断准则第10页特点：3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致数据被剔除的可能性很小。在测量次数小于10次时，3σ准则失效。为什么？3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n50）的重要测量中。异常值判断准则第11页2）格拉布斯（Grubbs)准则设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1，x2，…，xn，其测量标准偏差为s（x),对其中的一个可疑数据xd,,(其残余偏差vd的绝对值最大），若：则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留。上式中系数G（α，n）为格拉布斯准则的临界值，由测量次数n，和选定的显著性水平α（相当于犯“弃真”错误的概率）查表选取。显著性水平α通常选为0.01或0.05（一般不宜选取0.05）。(,)()ddvxxGnsx异常值判断准则第12页异常值判断准则第13页实例：在检定某量仪时，20次的测量数据值为：20.002,20.000,20.000,20.001,20.000,19.998,19.998,20.000,20.001,19.998,20.002,20.002,20.000,20.004,20.000,20.002,19.992,19.998,20.002,19.998,可计算出试用格拉布斯准则判断残余偏差绝对值最大的x17＝19.992(v17=－0.008）是否是异常值。解：n＝20，如何选取α？由于是量仪的检定，显著性水平α选为0.01由n＝20和α＝0.01查格拉布斯准则临界值G（α，n）得：G（α，n）＝2.88419999900025.,().xsx1717000828840002500072....xvxx17故是异常值，应予剔除。异常值判断准则第14页实例：在检定某量仪时，20次的测量数据值为：20.002,20.000,20.000,20.001,20.000,19.998,19.998,20.000,20.001,19.998,20.002,20.002,20.000,20.004,20.000,20.002,19.992,19.998,20.002,19.998,解：剔除后：n＝14数据残差最大V=0.0037，选显著性水平α选为0.01由n＝19和α＝0.01查格拉布斯准则临界值G（α，n）得：G（α，n）＝2.85414140003728540001800051....xvxx14故不是异常值，不予剔除，检验无异常值。异常值判断准则20000300018.,().xsx第15页3）狄克逊（Dixon)准则（该准则不用计算算术平均值等）正态测量总体的一个样本x1,x2,……，xn，按从小到大顺序排列为，分以下几种情况：12,,...,nxxx121101011121111121123121212112223378101113~~~nnnnnnnnnnnnnnnxxxxrrnxxxxxxxxrrnxxxxxxxxrrnxxxxxxrxx与与与31222110101111212122221430ij~nijxxrnxxrrrrrrrrrr与以上的，，，，，，，，分别简记为，，异常值判断准则第16页n1,(,)x,(,),xijijijijijijijijijijrrrrrrDnrrrrDn选定显著性水平，查表得D(,n)，选取计算出的、中的数值大者，即：若则选，若，则为异常值，若则选，若则为异常值，否则判断为没有异常值。异常值判断准则第17页异常值判断准则第18页例：重复测量某电阻共10次，101.0，101.1，101.2，101.2，101.3，101.3，101.3，101.4，101.5，101.7。数据已按大小顺序排列，用狄克逊准则判断其中是否有粗差。解：计算统计量，按n=10选取计算公式10911102211191101.7101.50.333101.7101.1101.1101.00.2101.5101.0xxrxxxxrxx查表(0.05,10)0.530D111111,(0.05,10)rrrD故数据中无异常值。异常值判断准则第19页异常值判断操作原则逐个剔除原则：在应用上述准判断粗大误差时，若同时有两个以上的测得值的残差υi超出判断界限，也只能剔除其中|υi|最大的那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的一个）；之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据，在重新计算后，其|υ|可能不超过判断界限，所以每次只能剔除一个超限的数据。我国在GB4883－85中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：（1）在只剔除1个异常值时采用格拉布斯（Grubbs)准则。（2）在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。异常值判断准则第20页第二章思考题1）误差符合正态分布的条件是什么？2）实验的测得数据应该用什么数值来作为测量结果？它是否是我们可能得到的“真值的最佳估计值”？3）使用贝塞尔公式计算实验标准差时是否要求误差分布必须是正态分布？贝塞尔公式计算出的是什么标准差？4）如果没有事先采取减小或补偿系统误差的措施，也没有用更高精度的仪器或基准进行检定性测量，测量后仅凭数据处理能否减小系统误差对测量结果的影响？5）剔除异常值时如果有两个相等的测值均符合异常值的剔除条件，能否同时将这两个测值一次一起剔除？引子圆柱体体积V的测量用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测量结果。直径d(mm)10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h(mm)10.10510.11510.11510.11010.11010.10510.084;10.110dmmhmmmsmshd8.182.1;5.154.1??;VsV第21页第三章误差的合成与分配第一节函数误差与误差合成第二节误差分配与微小误差的取舍准则第三节最佳测量方案的确定1.基本概念直接测量无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。e.g.游标卡尺测零件直径D。间接测量实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量值的测量。e.g.通过测量圆柱体的圆周长度L，通过已知函数关系式D=L/π，得到所求的零件直径D。函数误差间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误差。第23页2.函数误差的计算——a.已定系统误差计算公式设间接测量中，间接测量值y是各个直接测量量xi的多元初等函数，其表达式为：),(21nxxxfy，间接测量值直接测量值上式函数增量dy可用全微分形式表示为：nndxxfdxxfdxxfdy2211第24页2.函数误差的计算——a.已定系统误差计算公式（续）若已知各个直接测量值的系统误差可近似得到函数的系统误差为：1212nnfffyxxxxxx12,,,nxxx其中：为直接测量值的误差传递系数。(1,2,,n)ifix结论：各个直接测量值的已定系统误差对函数总误差的函数已定系统误差贡献是一种代数和的形式。第25页应用举例弓高弦长法测直径已知弓高、弦长的测得值及系统误差如下2.函数误差的计算——a.已定系统误差50,0.1500,1hmmhmmsmmsmm求测量结果第26页应用举例-弓高弦长法测直径2.函数误差的计算——a.已定系统误差1、建立函数关系式：24sDhh2、不考虑系统误差，求解直径D0：220500mm50mm1300mm4450sDhh3、计算误差传递系数：22225005005,112422504450fsfsshhh4、计算间接测量函数已定系统误差：51mm240.17.4Dmmmm5、修正后的测量结果：01300mm7.41292.6DDDmmmm注：先修正后计算结果：249950.11292.621292.6450.1Dmmmmmmmm第27页计算公式2.函数误差的计算——b.随机误差设间接测量中，间接测量值y是各个直接测量量xi的多元函数，其表达式为:),(21nxxxfy，设对各个直接测量值xi皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为:nNnnnNNxxxxxxxxxxxx,,:,,:,,:21222212112111对对对第28页计算公式（续）2.函数误差的计算——b.随机误差可得各组测量中，函数y的随机误差为：12121,iiininfffiyxxxiNxxx第组：将上述N式平方后相加可得：22222221212111()2()nNiiiNiinNimjmijmijfyyyxxxxffxxxx第29页计算公式推导（续）2.函数误差的计算——b.随机误差上式两边同时除以N（N充分大）得：122222222112