华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线3210:21030xyzLxyz及平面:4220xyz，则直线L（A）A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交.2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyxyfxyxy在点(0,0)处（C）A．连续、偏导数存在；B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在.3．设()fx为连续函数，1()d()dttyFtyfxx，则(2)F＝（B）A．2(2)f；B．(2)f；C．(2)fD．0.4．设是平面132zyx由0x，0y，0z所确定的三角形区域，则曲面积分(326)dxyzS＝（D）A．7；B．221；C．14；D．21.5．微分方程e1xyy的一个特解应具有形式（B）A．exab；B．exaxb；C．exabx；D．exaxbx.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点(6,3,2)，且与平面428xyz垂直，则此平面方程为2230xyz；2．设arctan1xyzxy，则(1,3)d|z＝24dxdy；3．设L为122yx正向一周，则2edxLy0；4．设圆柱面322yx，与曲面xyz在),,(000zyx点相交，且它们的交角为π6，则正数0Z32；5．设一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy有两个线性无关的解21,yy，若12yy也是该方程的解，则应有1.三、（本题7分）设由方程组ecosesinuuxvyv确定了u，v是x，y的函数，求xu及xv与yv.解：方程两边取全微分，则ecosesinesinecosuuuudxvduvdvdyvduvdv解出2222cosesin,,esinecosuuuuxdxydyduevdxvdyxydudvxdyydxdvvdxvdyxy从而222222,,uxvyvxxxyxxyyxy四、（本题7分）已知点)1,1,1(A及点)1,2,3(B，求函数3ln32uxyz在点A处沿AB方向的方向导数.解：2122,1,2,,,333ABAB2333336,,323232yxzgraduxyzxyzxyz，3,3,6Agradu从而212,,3,3,62147333uAB五、（本题8分）计算累次积分24112211deddedxxxxyyxxyxyyy）.解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1;:24,.2xDDDDxyxDxyx作图可知，该区域也可以表示为2:12,2Dyyxy从而2242222112112111deddeddedeedxxxxxyyyyyxyxyxyyxyyyy2222211ee2eeeeyye六、（本题8分）计算dddIzxyz，其中是由柱面122yx及平面1,0zz围成的区域.解：先二后一比较方便，11122000122zDzIzdzdxdyzdz七．（本题8分）计算32()dxyzS，其中是抛物面222yxz被平面2z所截下的有限部分.解：由对称性322d0,ddxSySxS从而223222()d()d()d2xyxyzSzSxyS22222223232000()1dxdy121Dxyxydrrdrrrdr402054111315ttdt八、（本题8分）计算22222(4cos)dcosdLxxxxxxyyyyy，L是点ππ(,)22A到点(π,2π)B在上半平面)0(y上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0(y上2223222322coscossinQxxxxxxxxyyyyyy223223222(4cos)0cossinPxxxxxxQxyyyyyyyyx且连续，从而在上半平面)0(y上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2C22222222424415(4cos)dcosd12LACCBxxxxyyy九、（本题8分）计算222()dd()dd()ddxyyzyzzxzxxy，其中为半球面221yxz上侧.解：补1:0z取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()dd()dd()ddxyyzyzzxzxxy122223211133132DDxydvxdxdydvxdxdydxdy2113400011922244drdrr十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(xfy，tsx适合042222syty，求)(xfy．解：21,ysyffttst222223222211,ysssyffffftttttsstt由已知222223222440,0,yyssffftsttt即2221420,40,4xfxxfxxfxxfxc1122,arctan422ccxfxfxcx十一、（本题4分）求方程的xyy2cos4通解.解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2rri非齐次项cos2,fxx，与标准式cossinxmlfxePxxPxx比较得max,0,2nmli,对比特征根，推得1k，从而特解形式可设为*12cossincos2sin2,kxnnyxQxxQxxeaxxbxx**(2)cos2(2)sin2,(44)sin2(44)cos2yabxxbaxxyabxxbaxx代入方程得14sin24cos2cos2,0,4axbxxab121cos2sin2sin24ycxcxxx十二、（本题4分）在球面2222azyx的第一卦限上求一点M，使以M为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点M的坐标为,,xyz，则问题即8Vxyz在22220xyza求最小值。令22228Lxyzxyza，则由2222820,820,820,xyzLyzxLxzyLxyzxyza推出3axyz，M的坐标为,,333aaa附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1．判别级数11)]1[ln()1(nnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于11~,[ln(1)]nunnnn，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的nu单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数nnnxnn02!21的收敛区间及和函数.解：212212112(1)!2(1)limlimlim2!111nnnnnnnannnRannnn从而收敛区间为,，201011112!1!2!2nnnnnnnnnxxxnnn2101112!21!2!2nnnnnxxxnnn21220001111!2!2!242nnxnnnxxxxxennn3．将0,0π()π0π,0axfxHxaHax，展成以2π为周期的傅立叶级数.解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。0na00021cos222sinsincosaanHnaHbfxnxdxHnxdxnxnn121cossin,nHnafxnxxan