华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

院系班级姓名作业编号1《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数22(,)22fxyxaxxyy在点(1,1)处取得极值，则常数a5．2．设1()edxyxfxy，则10()fxdx12e．3．设S是立方体1,,0zyx的边界外侧，则曲面积分567ddddddsxyzyzxzxy3．4．设幂级数0nnnax的收敛半径为3，则幂级数11(1)nnnnax的收敛区间为2,4．5．微分方程2434exyyyx用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为24exyxaxbxc．二、选择题1．函数22222222sin2(),0,(,)0,2,xyxyfxyxyxy在点(0,0)处（D）．（A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续．2．设sec(1)zxy，则zx（B）．（A）sec(1)tan(1)xyxy；（B）sec(1)tan(1)yxyxy；（C）2tan(1)yxy；（D）2tan(1)yxy．3．两个圆柱体222xyR，222xzR公共部分的体积V为（B）．（A）2222002ddRRxxRxy；（B）2222008ddRRxxRxy；（C）222222ddRRxRRxxRxy；（D）2222224ddRRxRRxxRxy．4．若0na，1nnkkSa，则数列nS有界是级数收敛的（A）．院系班级姓名作业编号2（A）充分必要条件；（B）充分条件，但非必要条件；（C）必要条件，但非充分条件；（D）既非充分条件，又非必要条件．5．函数sinyCx（C为任意常数）是微分方程22dsindyxx的（C）．（A）通解；（B）特解；（C）是解，但既非通解也非特解；（D）不是解．三、求曲面ee4xyzz上点0(ln2,ln2,1)M处的切平面和法线方程．解：022M11e,e,ee2,2,4ln2//1,1,2ln2xyxyzzzzxynzzzz切平面为ln2ln22ln212ln20xyzxyz法线为1ln2ln22ln2zxy四、求通过直线0:20xyLxyz的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线1:Lxyz．解：设过直线L的平面束为20,xyzxy即1120,1,1,1xyzn第一个平面平行于直线1:Lxyz，即有111,1,11,1,1210,2ns从而第一个平面为1111120,324,1,3,223xyzxyzn第二个平面要与第一个平面垂直，也即11,3,21,1,11332260,3nn从而第二个平面为4220xyz五、求微分方程430yyy的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线2240xy相切．解：直线2240xy为2,1yxk，从而有定解条件01,02yy，特征方程为212430,310,3,1rrrrrr院系班级姓名作业编号3方程通解为312xxycece，由定解的初值条件122cc3123xxycece，由定解的初值条件1231cc从而1215,22cc，特解为31522xxyee六、设函数()fu有二阶连续导数，而函数(esin)xzfy满足方程22222exzzzxy试求出函数()fu．解：因为222sin,sinsinxxxzzfueyfueyfueyxx222cos,cos(sin)xxxzzfueyfueyfueyyy222222()e,()0xxzzfuefufufuxy特征方程为2121210,1,1,uurrrfucece七、计算曲面积分222(coscoscos)dSxyyxz，其中是球体2222xyzz与锥体22zxy的公共部分的表面，cos，cos，cos是其外法线方向的方向余弦．解：两表面的交线为22222212222122,0,1,1xyzzxyzzzzzzxy原式222xyzdv，投影域为22:1Dxy，用柱坐标2:02,01,11rrzr原式22211111122200022rrrrdrdrrzdzrrzzdr122222021111rrrrrrdr院系班级姓名作业编号4113134220013122ttdtrrrdr11532452200221113125345ttrrr21181127022154551010另解：用球坐标:02,0,02cos4原式2cos24222000sin2cossinddd2cos4433002sin2cossindd545735022coscos2coscos5d116845722229494216555658ttttdt1682231161010tt2710八、试将函数20()edxtfxt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．解：2200n=01()eddn!nxxtnfxttt21n=01,,!21nnxxnn九、判断级数)0,0(1nnn的敛散性．解：11limlim1nnnnnnunun当01,1，级数收敛；当1,1，级数发散；当1,1时级数收敛；当1,01时级数发散院系班级姓名作业编号5十、计算曲线积分222(1e)d(e1)dyyLxxxy，其中L为22(2)4xy在第一象限内逆时针方向的半圆弧．解：再取1:0,:04Lyx，围成半圆的正向边界则原式11222(1e)d(e1)dyyLLLxxxy44200101122Ddxdyxdxxx十一、求曲面S：222124xzy到平面：2250xyz的最短距离．解：问题即求225441xyzd在约束222124xzy下的最小值可先求22,,9225fxyzdxyz在约束222124xzy下的最小值点取2222,,225124xzLxyzxyzy42250,422520,xyLxyzxLxyzy22222250,1224zzxzLxyzy0时212,41,,12xyzyyxz，211521151111,,13,1,,123233dd这也说明了0是不可能的，因为平面与曲面最小距离为13。