第七章习题

第七章非线性方程求根第七章非线性方程求根第七章非线性方程求根第七章非线性方程求根320+12213223+12+12--1=0=1.5111=1+,=1+2=1+,=1+113=,=-1-1kkkkkxxxxxxxxxxxxxxx、为求在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式并建立相应的迭代公式：迭代公式迭代公式迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根0=1.51.3,1.6解取x的邻域来考察'23311211.3,1.6=1+1.3,1.6,=-=11.3xxxLxx当时12'3223223221.3,1.6=1+1.3,1.6,=31+21.6=0.5221.31+1.3kxxxxxxL当时+121=1+.kkxx故迭代式在区间上整体收敛123+1=1+.kkxx故迭代式在区间上整体收敛'321-113=,=121.6-1-12-1xxxx+11=-1kxx故发散*-3-3-3-1-12L2411-1--10,-100.5101-L2L2kkkkkLLxxxxxx由于（）中的较小，故取（）中的迭代式计算，要求结果具有位有效数字只需即0123456=1.5=1.481248034=1.472705730=1.468817314=1.467047973=1.466243010=1.465876820xxxxxxx取时：，，，，-3*6561-10=1.466.2xxxx由于，故可取''+14,0,20=-=0kkkfxxfxmfxMxxfxMfx、给定函数，设对一切存在且证明对于范围内的任意定数，迭代方程均收敛于的根。'0=0fxfxfx证明：由于，为单增函数，故方程的根x是唯一的（假定方程有根）''=-,=1-,xxfxxfx迭代函数'''20002,-11-M1-1-1mfxMMmfxMfxm由及得'-10L=max1-1-M1,-L-L-0lim=kkkkkxmxxxxxxkxx故，由此可得即26=--.=0.xxpxfxqxfxpxqxfxx、设试确定函数和，使求解且以为迭代函数的迭代法至少三阶收敛+1==0P2194kxxfxx解：要求三阶收敛到的根，根据页定理，应有'''==0,=0xxxx，''3''''3''1=,=,21=,=,2fxpxqxfxfxfxxqxfxfx得故取p即迭代至少三阶收敛2''2'''''''=--=1-=0=-2--2=0xxpxfxqxfxxpxfxxpxfxpxfxqxfx于是由+10k121=+,0.k=1,2.2kkkaaxxxxaxxx9、研究求的牛顿公式证明对于一切，且序列，是递减的。0+1+11:10=+k=1,2,210,2=,k=0,1,2.2kkkkkkkaxxxxaxxxax证明法因为由可知对于一切，有，2+112=1,2,,x11-=-+=-+022kkkkkkkkaaxxxxaxxxx即对一切而故序列是递减的。2法用数列的求法。0-1-12-1-110=+210=-+,2kkkkkkkaxxxxaxxxaax因由知且+12k11=++=1,k12222kkxaaxxa又由+1=1,kkkkkxxxaxa故，即单调有下界根据单调有界原理知有极限，易证其极限为。3312-=0,aa、应用牛顿法于方程x导出立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。3'2''=-=3,=6,fxafxxfxx解设x则牛顿迭代公式为33+122-2+=x-=,=0,1,2,33kkkkkkxaxakxxx332''3-=x-,=32=1-,=013xaxxaxaxxx迭代函数故迭代公式局部收敛。213=1-=0,115afxax、应用牛顿法于方程导出求的迭代公式，并用此公式求的值。'-32k+1k'k:=21=x-=3-,=0,1,2,2kkkfxaxfxxxkfxa解牛顿迭代公式为x2'2'1=3-,=,233=-,=0122xxxxaaxxxa迭代函数0125=115=10,=10.6521739,=10.7230892,,=10.7238053axxxx迭代法局部收敛对于，取迭代计算得11510.7278故