2016七宝自招试题答案

冲刺17年自主招生之2016年七宝中学综合素养调研测试一、填空题（每题5分，共40分）1.若125的立方根是25A，的算术平方根为B，则__________.AB【答】25【解析】3331255525525AB，2.设xy，为实数，则代数式22245425xxyyxy的最小值为___________.【答】0【解析】原式2222444421xxyyxxyy2222210xyxy≥当21xy，时等号成立.3.方程：3456xxxx的解有_____________个.【答】1【解析】由题意3451666xxx，而345666xxx、、均随x的增大而减小，值域取到0到正无穷之间.于是原方程有且仅有一个解.4.已知两质数pq，之和为2019，则11qppq的值为______________.【答】2016【解析】根据题意pq，中必有一个偶数，12017212016qpqp，5.在直角三角形ABC中，CDCE，分别是斜边AB上的高，中线，33BCaACa，，若1tan3DCE，则a___________.DEBCA【答】3103【解析】设DEx，则10AEBECEx，229101210ACADABx，2221012109110BCBDABx，3103BC.6.在平面直角坐标系内，已知四个定点30110313ABCD，，，，，，，及一个动点P，则PAPBPCPD∣∣∣∣∣∣∣∣的最小值为______________.【答】3225【解析】易知四边形ABCD为凸四边形，设对角线BD与AC交点为O，18203225PAPBPCPDACBD∣∣+∣∣∣∣∣∣≥∣∣∣∣=，当P与O重合时等号成立.7.已知函数222222228.fxxaxagxxaxa，设1max{}Hxfxgx，，2min{}max{}Hxfxgxpq，，，表示pq，中的较大值，min{}pq，表示pq，中的较小值，记1Hx得最小值2AHx，得最大值为B，则______________.AB【答】12【解析】22244248fxxaagxxaa，当244xafxgxa，，当2xa，48fxgxa，而max248ggaa，2max48Hxgxga≤≤min244ffaa，1min44Hxfxfa≥≥，两个等号都能取到，444812AaBaAB，8.不等式21430xxx有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出11yx和2243yxx的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设ab，为整数，若对任意0x≤，都有2220axxb≤成立，则_____________.ab【答】3【解析】作图略，显然0a，由于x的负半轴上2ax与22xb不同号2ax与22xb在x负半轴上交点相同，2222242abaxab0a，12ab，，3ab二、解答题：（共20分）9.（10分）已知关于x的方程248320xnxn①和223220xnxn②问是否存在这样的n值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由.【答】0【解析】若存在n满足题意，2212432xxnn，②中1210xnxn，若243210nnn，则12n，但312n不为整数，舍；若243222nnn，则0n或14，当22n为整数，则0n.将0n代入验证成立.10.（10分）对于数对序列1122nnPababab，，，，，，，记111TPab，112max{}2kkkkTPbTPaaakn，≤≤，其中112max{}kkTPaaa，表示1kTP和12kaaa两个数中最大的数.1对于数对序列:2541P，，，，求12TPTP，的值；2记m为abcd、、、四个数中最小值的数，对于有两个数对abcd，，，组成的数对序列:Pabcd，，，和':Pcdab，，，，试分别对ma的md时两种情况比较2TP和2'TP的大小.【答】178，211'TPTP≤【解析】11257TP，21max{724}178TP，212max{}2bcbcTPabTPdabacda∣∣，，，12'max{}2dadaTPcdTPbcdcabc∣∣，，，11'22abcdbcdaTPTP∣∣-∣∣若ma，112'2abcbcTPTPac∣∣或ab，于是11'TPTP≤若md，112'2dbcbcTPTPdb∣∣或dc，于是12'TPTP≤.