14-振动习题课

振动习题课像枫叶，在严霜中那么火红像松柏，在朔风中那么苍翠像腊梅，在冰雪中那么傲然——那才是生活的强者一、一个简谐振动1、定义0cos2220xdtxdkxFtAx三要素振幅----A圆频率--初位相--0kEAvxA2,22020mkT,/22000xvtg本章小结胸中有全局旋矢法?0x00v（判据）2、解析描述2000tAtAvtAxcossincos0202coscostAtAa是速度振幅A是加速度振幅A2分析位移、速度、加速度位相的超前与落后。3、几何描述振动曲线和相量图3、几何描述振动曲线和相量图toy一条曲线，一个旋转矢量都能表示一个简谐振动，反之亦然。掌握：0,,AA0oAT0怎样从图上确定一组；怎样由一组画出图。0,,A*怎样写出振动方程----写出一个振动方程实质上就是找出一组。0,,A1、已知振动曲线求写振动方程2、已知振动系统和初始条件求写振动方程kEAvxA222020mk2000xvtg4、几个具体问题旋矢法*已知振动方程，求振动参量，用对比系数法。（必须掌握）*如何判断两个振动的超前和落后？*两个振动，时间差与位相差的关系2TtTt2P56T3Tt28/3Ttoxt1x2x由图可知：①横轴上每小格代表8/T②时间上超前21xx832TT43曲线平移：将x2曲线向左平移3T/8,则与x1同ttT2?5、能量)(sin212102222tAmmEk)(cos21210222tkAkxEP动能:势能:)22cos(4141022tkAkA)22cos(4141022tkAkA2222221212121kAmAkxmE系统机械能守恒241kAEEPK平均能量二、两个同方向同频率谐振动的合成0111costAx0222costAx0costAx0102212221cos2AAAAA0220110220110coscossinsintanAAAA注意：解题时遇到的往往是特殊情况。习题课1、一质量为m的质点在力F=–π2x的作用下，沿x轴运动，求其运动周期T=＿＿＿解：222dtxdxmmFa则令,m22xdtxd222m/为质点作谐振动的角频率。m/T22比较，与将kxFxF2k=π2/Tm/k2及＝由mm/T222（方法2）2、（习题集p45、1）一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m的重物，其自由振动的周期为T.今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度为v，加速度为a.试判断下列计算该振子倔强系数的公式中，哪个是错误的（）22maxmaxx/mvk)A(x/mgk)B(224T/mk)C(x/mak)D(22/mkmk解：)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa2222mAAm)A(右（B）右=mg/x为变量222m)T(m)C(右22m)tcos(A)tcos(Am)D(右∴选（B）.3、（习题集p45、2）如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的周期值之比为（）21:2:1/)A(2:21:1)B(21:2:1)C(41:2:1)D(mm4mkkmm4mk/2k/22kiikk11串iikk并设截断后的两弹簧劲度系数均为k,则前两种情形可看作两弹簧的串联(总劲度系数为k/2),第三种情形可看作两弹簧的并联(总劲度系数为2k),则有逆向考虑:解:221k/mT2422k/mTk/mT22321:2:122:22:2::321TTT∴选（C）.kkmm4mk/2k/22k4、（习题集p46、10）一长度为l、倔强系数为k的均匀轻弹簧分割成长度分别为l1和l2的两部分，且l1=nl2，n为整数，则相应的倔强系数k1和k2为（）①、②联立得∴选（C）.②①12212111111nkkknkkkkknkknnk)1(121知由2121nll,lll解:)n(kk,nknk)A(11211121nkk,n)n(kk)B()n(kk,n)n(kk)C(11211121nkk,nknk)D(5、（习题集p46、5）已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为（）)cmπ/πt/(cosx)A(32322)cmπ/πt/(cosx)B(32322)cmπ/πt/(cosx)C(32342)cmπ/πt/(cosx)D(32342)cmπ/πt/(cosx)E(4322O-2-112X(cm)解:t=0时，质点位移为-1cm，且向X负向运动；t=1s时，质点达正的最大位移2cm.32由旋转矢量图知,343411s.radtcm)tcos(x32342∴选（C）.ωAt=1At=0ωωΔtφ6、（习题集p46、9）弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为（）2kA)A(221kA)B(241kA)C(0)D(弹弹pEA解:设T为谐振动周期,则周期为T/2.弹pE02弹内在pE,T0弹A∴选（D）.7、（习题集p49、23）一简谐振动曲线如图所示，试由图确定在t=2s时刻质点的位移为＿＿＿，速度为＿＿＿.x(cm)t(s)o42-66如图，t=2s时位移为0.此时质点位于平衡位置且向x正向运动,速度达正的最大值vmax.)s/m(ATAvmax22103106422简单解法:xtox1x28、已知两个简谐振动曲线如图所示。x1的位相比x2的位相超前＿＿＿.将x2曲线向左平移3T/8,则与x1同相,∴x1的位相比x2的位相超前3π/4.解:(曲线平移法)9、（习题集p49、25）一质点作简谐振动。其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期T=＿＿＿，用余弦函数描述时初相Φ=＿＿＿.t=0时，x=-2，且向x正向运动。t=2s时，x=0，且向x负向运动。32ωΔt由旋转矢量图知,127672t3.43(s)24/7/2T10、（习题集p50、28）一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为)/tcos(Ax31)/tcos(Ax352)tcos(Ax3其合成运动的运动方程为x=＿＿＿＿＿＿.由旋转矢量法，可求得合振幅为零。∴运动方程为x=0.)cos(AAAAA112122263102023102022cos)()cm(10由余弦定理,A1⊥A2212221即22221AAA11、（习题集p50、29）两个同方向同频率的谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一个谐振动的位相差为.若第一个谐振动的振幅为，则第二个谐振动的振幅为＿＿＿cm，第一、二两个谐振动的位相差为＿＿＿.2161/cm310由振动方程知：23,由旋转矢量图知3t)s(./t6670323此即所求的最短时间。解：φ12、（习题集p53、49）一质点作简谐振动，其振动方程为，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t=0的状态）运动到x=-0.12m，v0的状态所需最短时间Δt.)SI()//tcos(.x3224013、质量m=10g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x=0.5cos(8πt+π/3)的规律作自由振动，式中t以秒作单位，x以厘米作单位，求：（1）振动的圆频率、周期、振幅和初相。（2）振动的速度、加速度的数值表达式。（3）振动的能量E.（4）平均动能和平均势能。解：（1）A=0.5cm;ω=8πrad/s;T=2π/ω=0.25s;φ=π/3.（2）dtdxvdtdva)scm)(3t8sin(41)scm)(3t8cos(3222（3）,kAE22122mkmk又2221AmE222310508101021).()()J(.510907（4）TkkdtETE01平均动能TdtmvT02211Tdt)t(sin))((T02223381041010211E)J(.2110953104562同理,.J.EEp51095321思考题一长为的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平轴上，如图所示，作成一复摆。已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量，此摆在竖直面内作微小振动（摆角小于5°）。试分析此摆是否作简谐振动？如果是，简谐振动的周期又是多少？l231mlJOθmgOθmgFnFtθ选⊙为正向，则复摆所受合外力矩为lsinmglFMt212.sin,rad为单位时且以当5mglM21（“-”表示M阻碍θ的增加）由转动定律，2222332dtdlg/ml/lmgJM即得令,l/g232222dtd∴此摆作简谐振动。gl/T32227(P46)一弹簧振子，当把水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的：（A）竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动。（B）竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动。（C）两种情况都可作简谐振动。（D）两种情况都不能作简谐振动。分析：,sinkbmg由平衡条件以平衡位置为原点，斜向下为x轴正向，小球受力：kxbxkmgf)(sin可知小球以所选原点为中心沿斜面做简谐运动，其周期为kmT2[C]xθ8.(P46)一质点作简谐振动，已知振动频率为f，则振动动能的变化频率是（A）4f；（B）2f；（C）f；（D）f/2。分析：简谐振动的能量[B]xoA-ATttT/2EPEkE26.(P49)试在下图中画出谐振子的功能，振动势能和机械能随时间t而变的三条曲线（设t=0时物体经过平衡位置）。xoA-ATttT/2EPEkE