现代控制理论大作业

现代控制理论大作业老师：周晓敏姓名：李维奇班级：机研141班学号：s201406122015年1月一.系统的工程背景及物理描述超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。上图表示一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统；主动隔振系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。床身质量的运动方程为：pF——空气弹簧所产生的被动控制力aF——作动器所产生的主动控制力假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：其中，电枢电流Ia满足微分方程：1.性能指标：闭环系统单位阶跃响应的：超调量不大于5%；过渡过程时间不大于0.5秒（=0.02）2.实际给定参数：某一车床的已知参数3.开环系统状态空间数学模型的推导过程：对式0yss两边求二次导，.....011()({1[/()]})nparrreeeaysFFcykypVVAyAkImm对上式再求一次导，01eaycykykIm其中1/()rrreepVVAyA则̈̇，又由̈̇,代入Li̇+R+E(,ẏ)u(t)00(,)()aeemycykymycykyLREIyutkk，即Lmy⃛+(Lc+Rm)ÿ+(Lk0+Rc)ẏ+Rk0y+Lω̇+Rωk0E(,ẏ)keu(t)令状态变量为x1y,x2ẏ,x3ÿ，得系统开环的状态方程为：1223003123exxxxRkLkRckLcRmxxxxuLmLmLmLm于是状态空间表达式为：1122003312301000010100exxxxuRkLkRcxkLcRmxLmLmLmLmxyxx代入系统参数，112233123010000103157.8910.53315.798.60100xxxxuxxxyxx二、系统的定性分析系统的能控能观性根据其能控性矩阵和能观性矩阵是否满秩来判断。Matalab代码为：结果如下所示，该系统能控能观。判断系统的稳定性，根据系统稳定性的充分必要条件，求出系统的所有极点，并观察实部是否有大于0的极点。求得的极点中实部有大于0.故系统不稳定。三．系统的反馈控制器设计由性能指标超调量小于5%，即2exp5%1，过渡时间不超过0.5s，则有40.5snt，得ξ≥0.69.所以θ≤46.36，8n。为留出裕量，取ξ=0.8，Wn=20.那么共轭极点11612j，21612j，取第三个极点为3100，则系统的期望特征多项式为：32()(1612)(1612)(100)132360040000fjj设状态反馈控制律为：112323xukkkxx于是，闭环系统的状态空间表达式：112212333123010000103157.898.610.538.6315.798.68.60100xxxxukkkxxxyxx可得系统的特征多项式为：32321()(315.798.6)(10.538.6)(3157.898.6)fkkk两式对比，得321315.798.613210.538.636003157.898.6=40000kkk，解得1234284.0417.3821.37kkkMatalab程序为：求得状态反馈矩阵结果为：单位阶跃响应的仿真曲线为：各状态变量变化曲线：1x的变化曲线2x的变化曲线3x的变化曲线四．系统的状态观测器设计因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。在极点配置法的基础上，设观测器的期望极点为V=[-1-1+0.0088j-1-0.0088j].Matlab程序如下：算的结果，观测器增益矩阵L=[-283.89.0e+4-2.8e+07].五．系统的二次型最优控制器设计因为平衡车的平衡重点是角度和位置的迅速稳定和，所以令车体倾角和位移的加权量为1000，即选取加权矩阵为Q=[000000000000],R=1.Matlab程序如下：计算结果为：六．闭环系统的全状态响应仿真假设存在某一初始振动状态51(0)110mx，52(0)110m/sx，523(0)110m/sx。根据闭环状态方程112233010001400003600132xxxxxx编写matlab程序：源文件aa：functiondx=aa(t,x)A=[0,1,0;0,0,1;-40000,-3600,-132];dx=A*x;仿真结果程序：[t,x]=ode45('aa',[0,1],[6*10^-5,2*10^-5,-0.8*10^-5]);subplot(3,1,1);plot(t,x(:,1),'r-');legend('x_1');grid;subplot(3,1,2);plot(t,x(:,2),'b-');legend('x_2');grid;subplot(3,1,3);plot(t,x(:,3),'k-');legend('x_3');grid;从图中可见振动抑制效果很理想，已满足设计指标。七．总结从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路。1.首先对观测器的能观性与能控性进行判断；2.如果完全能观或能控，则进行以下分析；如果不是，可以进行能控与能观分解出来；3.如果使用原系统状态反馈，可以根据系统要求进行极点配置，进而设计出控制器；如果还需要设计观测器，可合理配置观测器极点，进而设计整个系统。4.如果使用观测器状态反馈，由于分离定理，观测器与反馈可分别设计，所以设计过程基本和上面一样；5.对于以上系统都存在较大的余差，故需设计参考输入，或者采取积分控制器都可以很好的消除稳态余差。