极限与连续.ppt

附录D极限与连续xy111.52.524讨论当x无限趋近于2时,函数的变化趋势.2xy1).x从2的左边(x2)无限趋近于2:…0.000040.00040.0040.040.391.75|y-4|…3.999963.99963.9963.963.612.25…1.999991.99991.9991.991.91.5x2xy从表和图象都可以看出:当自变量x从x轴上表示2的点的左边无限趋近于2时,函数的值,2xy无限趋近于4.o一、讲授新课：1.当x→x0时,函数f(x)的极限:xy242).x从2的右边(x2)无限趋近于2:…0.000040.00040.0040.040.412.25|y-4|…4.000044.00044.0044.044.416.25…2.000012.00012.0012.012.12.5x2xy从表和图象都可以看出:当自变量x从x轴上表示2的点的右边无限趋近于2时,函数的值,2xy无限趋近于4.2.5从上面两种情况来看,当x无限趋近于2时函数2xy的函数值无限趋近于4.因此,称为当x无限趋近于2时,函数的极限为4.2xy记作:4lim22xxo再讨论当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数的变化趋势.211xyx112xxy函数112xxy的定义域不包括1x即112xxy在1x处无定义但x可以从x轴上点x=1的左,右两边无限趋近于1.所以,当x无限趋近于1(但不等于1)时,y的值无限趋近于2.因此,当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数112xxy的极限是2.记作:211lim21xxx21-101xy112xxy即}),1|{(1xxxxy由于定义：当自变量x无限趋近于常数(但不等于)时,0x0x如果函数)(xf无限趋近于一个常数,a就说当x趋近于0x时,函数的极限是)(xf,a记作:,)(lim0axfxx也可记作:.)(0axfxx时，当)(lim0xfxx也叫做函数)(xf在点0xx处的极限.例1、当时,写出下列函数的极限:2x;)1(2xy;sin)2(xy;)3(xy.5)4(y解:.4lim)1(222xx.1sinlim)2(2xx.2lim)3(2xx.55lim2x(4)y=5是常数函数,函数值始终等于常数5.有函数极限的定义,容易得到一般地,设C为常数,则.lim0CCxx例2、写出下列极限的值：;lim)1(5xx;2lim)2(0xx;lim)3(21xx;tanlim)4(4xx;2lim)5(2xx.1)-2(lim)6(22xx对于极限表达式，中的0lim()xxfxa0xx，应怎样理解?应理解为x可以用任何方式无限趋近于0x，其中包括:1）从表示的点的左边无限趋近于；0x0x2）从表示的点的右边无限趋近于；0x0x3）从表示的点的两侧交错地无限趋近于；0x0x总之，不管以哪种方式趋近，只要0xx，就有.)(axf下面讨论函数的“单侧”极限,即自变量x只能从表示的点的一侧0x无限趋近于是函数的极限.0x)(xf2.函数的左右极限:x11-1y当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于-1；当x从原点O的右侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于1.由于x从不同方向无限趋近于0时,)(xf所无限趋近的值不同,所以,)(xf在x=0处无极限.即0lim().xfx不存在考察函数，当x无限趋近于0时，1(0)()0(0)1(0)xxfxxxx函数的变化趋势？)(xfx11-1yO考察函数，当x无限趋近于0时，1(0)()0(0)1(0)xxfxxxx函数的变化趋势？)(xf考虑到函数1(0),()0(0),1(0).xxfxxxx当时当时当时0lim()xfx不存在.但是,如果限制x只能从原点O的某一侧无限趋近于0,函数就会无限趋近于一个确定的常数.当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数)(xf无限趋近于－1.比如:由此,我们得到单侧极限的定义.一般地,如果当x从点左侧(即)无限趋近于时,0xx0x函数)(xf无限趋近于常数,a0xxa就说是函数0x记作.)(lim0axfxx)(xf在点处的左极限,就说是函数0x记作.)(lim0axfxxa)(xf在点处的右极限,一般地,如果当x从点右侧(即)无限趋近于时,0xx函数)(xf无限趋近于常数,a0xx0x由函数在一点处的左、右极限定义可知,对于函数.)0(1),0(0),0(1)(时当时当时当xxxxxxfy,1)(lim0xfx.1)(lim0xfx根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义,可以得出0lim()xxfxa00lim()lim()xxxxfxfxax11-1y例：写出下列函数的左右极限，并判断哪些函数在x=0处有极限？2(0)0(0)(0)1()xxxxxfxsin(0)1(0)2()xxxxfx就说当x趋向于正无穷大时，函数的极限是a，记作lim()xfxa；()fx一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数a，也可记作:当axfx)(时，当也可记作:axfx)(时，就说当x趋向于负无穷大时，函数的极限是a，记作lim()xfxa；当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数a，()fx类似的给出无穷极限的定义:也可记作:当axfx)(时，().limxfxa()limxfx()limxfx如果=a,且=a,那么就说当x趋向于无穷大时,的极限是a,记作()fx()limxfxa()limxfxa()limxfxa且例3．求下列极限:（3）（4）（1）（2）xx1limxx21lim1)12(lim21xxxx2lim1xxx212lim21那么如何求?1.11.011.00110.9990.990.9xxx2122考察下表1.455561.495051.49951.51.500501.505051.554551232123观察该极限与上题极限之间存在关系吗?xxxxxxx21limlim212lim1121xxxxxxx2lim)12(lim212lim12121baxgxfxgxfbaxgxfxgxfxxxxxxxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim)(lim)(lim)()(lim000000bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果，那么).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx函数极限运算法则：0xx“时”事实上我们有也就是说：如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为0）。注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在.)()](lim[)]([lim*00Nnxfxfnxxnxx)(lim)]([lim00xfCxCfxxxx（C为常数）由不难得到：)(lim)(lim)]()([lim000xgxfxgxfxxxxxx注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在.lim()()lim()lim()lim[()()]lim()lim()xxxxxxfxgxfxgxabfxgxfxgxablim()xgxblim()xfxa如果，那么lim()()lim(0).()lim()xxxfxfxabgxgxb同样有函数极限运算法则：x“时”00000(1)lim(lim),lim;nnnnnxxxxxxxxxxx即)(*Nn利用函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函数的极限.111(2)limlim(lim)001lim0nnnnxxxnxxxxx即用上面的运算法则可求：0(1)lim;nxxx1(2)lim.nxx例4、求).3(lim22xxx解:)3(lim22xxxxxxx3limlim222)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxxnnxxxx00lim)(lim)]([lim00xfCxCfxxxxxxxx222lim3)(lim1023222321215lim.21xxxxx例、求1212lim2321xxxxx解：)12(lim)12(lim23121xxxxxx1lim2limlim1limlim2lim121311121xxxxxxxxxx211211112232).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx通过例1、例2同学们会发现：①函数f（x）在处有定义;②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把x=x0代入函数解析式中，就得到极限值.------代入法0xx总结：)3(lim22xxx.1212lim2321xxxxx(1)(2)分析：当分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当时函数的极限只与x无限趋近于4的函数值有关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的极限.4x4x.416lim24xxx例6、求416lim24xxx)4()4)(4(lim4xxxx4lim(4)xx8解：).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx.416lim24xxx例7、求例8、求.121lim221xxxx解：)12)(1()1)(1(lim1xxxxx.121lim221xxxx121lim1xxx321211)12(lim)1(lim11xxxx).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx总结：通过例7、例8会发现：①函数f（x）在处无定义；②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，若用代入法，分子分母都为０.0xx例8、求.121lim221xxxx.416lim24xxx例7、求解决办法：可对分子分母因式分解，约去为0的公因式来求极限．------因式分解法011limxxx变式：求=？解决办法：可先有理化分子，再约去为0的公因式来求极限．------根式有理化法26lim)4(22xxxx练习：求下列函数的极限：1214lim)1(22xxxx265lim)3(222xxxxx)2)(3()2)(1(lim)2(22xxxxx2219lim?1xxxx例、求2222111limlim1111101100xxxxxxxx解：注意:当分子、分母中同除以x的最高次幂，利用就可以求极限了．x1lim0nxx22351lim457xxxxx练习：求？例10、已知.,221lim221的值求实数axxaxx221lim221xxaxx22111122a6a解：