六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结XXX学号数学科学学院数学与应用数学专业班级指导老师XXX摘要在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1确界定理1.1确界定理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界.1.2确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列,nanb适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n，有1nnaa＜nnbb1，（2）当n时，区间列的长度nbna所成的数列收敛于零，即0limnnnab.显然数列na中每一个元素均是数列nb的下界，而数列nb中每一个元素均是数列na的上界.由确界定理，数列na有上确界，数列nb有下确界.设.sup,infnnab显然nnnnbaba,.又0limnnnab即na及nb收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.1.3确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因ny有界，则必有上确界nysup.现在证明恰好是ny的极限，即ny.由上确界的定义有：⑴ny（3,2,1n…），⑵对任意给定的＞0，在ny中至少有一个数Ny，有Ny＞.但由于ny是单调增加数列，因此当n＞N时，有Nnyy，从而ny＞.也就是说：当n＞N时，有ny0＜所以ny2单调有界原理2.1单调有界原理单调有界数列有极限.2.2单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列nx必存在单调子数列.证明：⑴若nx中存在递增子序列knx，则引理已证明；⑵若nx中无递增子序列，那么1n＞0，使n＞1n，恒有1nx＞nx.同样在nx（n＞1n）中也无递增子序列.于是又存在2n＞0，使2n＞n，恒有2nx＜nx＜1nx.如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列knx.引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列.2.3单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道na是单调增加有上界的数列，nb是单调递减有下界的数列.根据定理，则nnalim存在，且极限等于na的上确界.同样，nnblim也存在，且极限等于nb的下确界.亦即对任何正整数k，有nnknnkbbaalim,lim（*）由定理的另一条件：0limnnnab，并且由于已知na及nb的极限都存在，则有0limlimlimnnnnnnnabab.从而证明了两个极限相等，且设是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有nkba（3,2,1k…）也就是是所有区间的一个公共点.现在要证明是所有区间的唯一公共点.设除点外，所设区间列还有另外一个公共点'，且'.由于nnba',（3,2,1n…），故有'nnab（3,2,1n…）由数列极限的性质知道：'limnnnab由于0limnnnab，故有0'从而有'.到此定理的全部结果都已得证.3区间套定理3.1区间套定理设一无穷闭区间列,nanb适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n，有1nnaa＜nnbb1，（2）当n时，区间列的长度nbna所成的数列收敛于零，即0limnnnab，则区间的端点所成两数列na及nb收敛于同一极限，并且是所有区间的唯一公共点.3.2区间套定理证明单调有界原理证明：设数列nx递增有上界.取闭区间11,ba，使1a不是数列nx的上界，1b是数列nx的上界.显然在闭区间11,ba内含有数列nx的无穷多项，而在11,ba外仅含有数列nx的有限项.对分11,ba，取22,ba，使其具有11,ba的性质.故在闭区间22,ba内含有数列nx的无穷多项，而在22,ba外仅含有数列nx的有限项.以此方法，得区间列,nanb.由区间套定理，是所有区间的唯一公共点.显然，在的任何邻域内有数列nx的无穷多项，即＞0，*NN，当n＞N时，有nx＜.所以nnxlim定理得证.3.3区间套定理证明致密性定理[1]证明：设ny为有界数列，即存在两个数ba,，使byan.等分区间ba,为两个区间，则至少有一个区间含有ny中的无穷个数.把这个区间记为11,ba，如果两个区间都含有无穷个ny，则任取其一作为11,ba.再等分区间11,ba为两半，记含有无穷个ny的区间为22,ba.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列,nanb，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）2211,,,bababa…（2）02nnnabab于是由区间套定理，必存在唯一点ba,使nnba,，且kkba,（3,2,1k…）.每一kkba,中均含有ny的无穷个元素.在11,ba中任取ny的一项，记为1ny，即ny的第1n项.由于22,ba也含有无穷个ny，则它必含有1ny以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2ny，则1n＜2n.继续在每一kkba,中都这样取出一个数kny，即得ny的一个子列kny，其中1n＜2n＜…＜kn＜…，且knkbyak.令k，由于,,kkba故kny.这就是定理所要的结果.4致密性定理4.1致密性定理又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列.4.2致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设nx单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列knx.令axknklim.于是，对＞0，0k，当k＞0k时，有axkn＜（*）由于nx单调递增，显然恒有axn（3,2,1n…）.由此（*）式可改成0knxa＜（k＞0k）取0knN，当n＞N时有knnxaxa0＜所以axnnlim4.3致密性定理证明柯西收敛原理[1]证明：首先证明条件的必要性：设axn，则对任意给定＞0，有一正整数N，当k＞N时，有axk＜2从而当nm,＞N时，有mnmnxaaxxx＜2+2=其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取=1，必有一正整数0N，当nm,＞0N时，有mnxx＜1特别地，当n＞0N且10Nm时，有10Nnxx＜1从而当n＞0N时，有1100NNnnxxxx＜1+10Nx这就证明了nx的有界性.由致密性定理，必有收敛子列knx，设axknklim.根据子列收敛定义，对任意给定的＞0，必有正整数K，当k＞K时，有axn＜取一正整数1,1max0NKk.于是0k＞K，且11NnnNko＞N.因此，当n＞N时，由已知条件有0knnxx＜，所以axxxaxkknnnn00＜+=2即axnnlim5柯西收敛原理5.1柯西收敛原理数列nx有极限的必要与充分条件是：对任意给定的＞0，有正整数N，当m,n＞N时，有mnxx＜.5.2柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设nx为一递增且有上界M的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是＞0，对*NN，当nm,＞N时，有mnxx取1，必有一正整数1N，当21,nn＞1N时，有112nnxx.又由于数列nx为一递增的数列，所以1212nnnnxxxx1取1，必有一正整数1N，当32,nn＞1N时，有123nnxx取1，必有一正整数1N，当43,nn＞1N时，有134nnxx………………………………………取1，必有一正整数1N，当1,kknn＞1N时，有11kknnxx将以上式子相加，得11kxkn（k）与数列nx有上界M矛盾，假设不成立.即，单调有界数列有极限.5.3柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设nx为一有上界M的数列.假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则＞0，对*NN，当kknn,1＞N时，有kknnxx1.取1，必有一正整数1N，当21,nn＞1N时，有112nnxx取2，必有一正整数2N，当32,nn＞2N时，有223nnxx取3，必有一正整数3N，当43,nn＞3N时，有334nnxx………………………………………取k，必有一正整数kN，当1,kknn＞kN时，有kxxkknn1显然与数列nx有上界M矛盾，假设不成立.即，任一有界数列必有收敛子列.6有限覆盖定理6.1有限覆盖定理若开区间所组成的区间集E覆盖一个闭区间[a,b],则总可以从E中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a,b].6.2有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间ER，xE,有xM,任取一点0xE，假设E无上确界，那么x[0x,M]:ⅰ)当x为E的上界时，必有更小的上界1x＜x,因而x存在一开邻域x，其中每一点均为E的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x不是E的上界时，则有2xE使2x＞x,那么x存在一开邻域x，其中每点均不是E的上界，称其为第二类区间.当x取遍[0x,M]上每一点找出一个邻域x.显然x不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x,M]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x,M].显然M所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间x有公共点.所以xx，x均为E的上界.而与x相邻接的开区间'x有公共点，所以x'x，x均为E的上界.依此类推，0x所在的开区间也是第一类区间，则0x为E的上界.又0xE，E为常数集.由此矛盾引出.得证.同理，E有下确界.6.3有限覆盖定理证明致密性定理证明：设nx是一有界数列，现在证明nx有收敛子列.（1）如果nx仅由有限个数组成，那么至少有一个数要重复无限多次，即=21nnxx…=knx…因而子列knx收敛于.（2）如果nx是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间ba,，使对一切自然数n都有a＜nx＜b在ba,内至少存在一点0x，使对于任意的正数，在00,xx内都含有nx中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于ba,中每一点x，都有x＞0，在xxxx,内，仅有nx中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：,xxxx，完全覆盖了闭区间ba,，依有限覆盖定理，存在中的有限多个区间.11111,xxxx，…，nnxnxnnxx,，他们也覆盖了ba,，并且在每一个i（,2,1i…,n）中都只含nx中的有限多个数.因此nx也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾.于是，对于k=k1（,3,2,1k…），于kkxx00,内取nx中无穷多个点，就得到nx的子列knx满足：0xxkn＜k