《概率论与数理统计》习题及答案--第三章

·19·《概率论与数理统计》习题及答案第三章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(01)p，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。解()Xk表示事件：前1k次出现正面，第k次出现反面，或前1k次出现反面，第k次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.kkPXkppppk2．袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。解从ab个球中任取r个球共有rabC种取法，r个球中有k个黑球的取法有krkbaCC，所以X的分布列为()krkbarabCCPXkC，max(0,),max(0,)1,,min(,)krarabr，此乃因为，如果ra，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即0k；如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从ra开始。3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1ipii，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布列。解设iA‘第i个零件是合格品’1,2,3i。则1231111(0)()23424PXPAAA，123123123(1)()PXPAAAAAAAAA123123123()()()PAAAPAAAPAAA111121113623423423424，123123123(2)()PXPAAAAAAAAA123123123()()()PAAAPAAAPAAA1211131231123423423424，·20·1231236(3)()23424PXPAAA.即X的分布列为01231611624242424XP.4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。解(0)PXP(第一个路口即为红灯)12,(1)PXP(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)111224，依此类推，得X的分布列为012311112488XP.5．将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故1~(,)2XBn，X的分布列为1()2nknPXkC0,1,,kn6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。解设X为每分钟接到的呼叫次数，则~(4)XP（1）84448444(8)0.29778!!!kkkkqPXeeekk（2）4114(10)0.00284.!kkPXek7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至·21·少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意51150.99977()1()1()1!kKNKNPXNPXNPXKek即5150.00023!KKNek查泊松分布表知115N，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。8．已知离散型随机变量X的分布列为：(1)0.2,(2)0.3PXPX，(3)0.5PX，试写出X的分布函数。解X的分布列为1230.20.30.5XP所以X的分布函数为0,1,0.2,12,()0.5,23,1,3.xxFxxx9．设随机变量X的概率密度为sin,0,()0,cxxfx其他.求：（1）常数C；（2）使()()PXaPXa成立的a.解（1）001()sincos2fxdxcxdxcxc，12c；（2）1111()sincoscos2222aaPXaxdxxa，001111()sincoscos,2222aaPXaxdxxa可见cos0a，2a。10．设随机变量X的分布函数为()arctanFxABx，x，求：（1）系数A与B；（2）(11)PX；（3）X的概率密度。·22·解（1）由分布函数的性质0()21()2FABFAB于是12A，1B，所以X的分布函数为11()arctan2Fxxx，（2）11111(11)(1)(1)()24242PXFF；（3）X的概率密度为21()()(1)fxFxx，x.11．已知随机变量X的概率密度为||1()2xfxe，x.求X的分布函数.解001,0,2()()11,0,22xuxxxueduxFxfuduedxedux1,0,211,0.2xxexex12．设随机变量X的概率密度为,01,()2,12,0,xxfxxx其他.求X的分布函数.解()fx的图形为X的分布函数为·23·()()xFxfudu01010,0,,01,(2),12,1,2.xxxuduxxdxuduxx220,0,,01,221,12,21,2.xxxxxxx13．设电子管寿命X的概率密度为2100,100,()0,100.xxfxx若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布列；（3）Y的分布函数。解Y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，~(3,)YBp，其中15021001001(150)3pPXdxx，（1）所求概率为2323121(2)(2)(3)333PYPYPYC727；（2）Y的分布列为3312()33kkkPYkC，0,1,2,3,k即01238126127272727YP.012x(1，1)f(x)·24·（3）Y的分布函数为0,0,8,012720(),12,2726,23,271,3.xxFxxxx14．设随机变量X的概率密度为2,01,()0,.xxfx其他现对X进行n次独立重复观测，以nV表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量nV的概率分布。解~(,)nVBnp，其中0.10(0.1)20.01pPXxdx，所以nV的概率分布列为()(0.01)(0.99),0,1,,kknknnPVkCkn.15．设随机变量~[1,6]XU，求方程210xXx有实根的概率.解设A‘方程有实根’，则A发生240X即||2X，因~[1,6]XU，所以A发生2,X所以624()(2)0.8615PAPX.16．设随机变量~[2,5]XU，现对X进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.解设Y为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则~(3,)YBp，其中532(3)523pPX，所求概率为232321220(2)(2)(3)33327PYPYPYC.·25·17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分），服从参数为15的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及(1)PY。解由题意~(5,)YBp，其中25510101(10)5xxpPXedxee，于是Y的分布为2255()()(1)0,1,2,3,4,5,kkkPYkCeek25(1)1(0)1(1)0.5167PYPYe.18．一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数()Nt服从参数为t的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。解（1）设T的分布函数为()TFt，则()()1()TFtPTtPTt事件()Tt表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故()0Nt，于是0()()1()1(()0)11,00!ttTtFtPTtPNteet，可见，T的分布函数为1,0,()0,0.tTetFtt即T服从参数为的指数分布。（2）所求概率为1688{16,8}(16)(16|8)(8)(8)PTTPTePTTePTPe.19．设随机变量2~(108,3)XN。求（1）(101.1117.6)PX；（2）常数a，使()0.90PXa；（3）常数a，使(||)0.01PXaa。解（1）117.6108101.1108(101.1117.6)()()33PX(32)(23)(32)(23)1·26·0.99930.989310.9886；（2）1080.90()()3aPXa，查表知1081.283a，所以111.84a；（3）0.01(||)1(||)1(02)PXaaPXaaPXa21081(),3a所以2108()0.993a，查正态分布表知21082.333a，故57.495a。20．设随机变量2~(2,)XN，且(24)0.3PX，求(0)PX。解420.3(24)()(0)PX，所以2()0.8，0222(0)()()1()0.2PX。21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解9672240.023(96)1()1()PX242412()0.977,2,1.所求概率为847260721212(6084)()()()()PX122()120.841310.6826.22．假设测量的随机误差2~(0,10)XN，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。·27·解设Y为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则~(100,)YBp，其中(||19.6)1(19.619.6)1(1.96)(1.96)pPXPX22(1.96)220.9750.05，所求概率为1001001003(3)(0.05)(0.95),kkkkPYC利用泊松定理1005350.875!kkek.23．在电源电压不超过200V，在200240V和超过240V三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布2(220,25)N，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。解设A‘电子元件损坏’，iB‘电源电压在第i档’，1,2,3i，则（1）112233()()(|)()(|)()