二面角的求法公开课20180108-ppt

23°26´66°34´地球轨道面(黄道平面)南极北极↓↑从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义:一复习:l2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义二面角的平面角:ABPl二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0180二面角的大小用它的平面角的大小来度量以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1法一：依据定义找（作）出二面角的平面角，证明此角是所求角，计算法一：依据定义找（作）出二面角的平面角，证明此角是所求角，计算二面角的求法:aOABABOa的平面角；是二面角则，中作在平面，中作在平面aAOBbOBaOA的平面角；二面角是，则连接，于点，交棱中作在平面，于点，交作中点从平面aAOBAOOaaOBBABA求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。mn法二：平面法向量法:mnαβnm,如图，二面角大小为nm,如图，二面角大小等于法三：射影面积法:如图所示，AD平面M，设AHD=是二面角A-BC-D的平面角，由cos=AD/AH可得，ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影DBC以及两者所成的二面角之间的关系：ABCDHMcosDBCABCSSSS射二.巩固应用的余弦值；求二面角是等边三角形，的正方形，是边长为底面平面中，平面如图，在四棱锥例PACBPABABCDABCDPABABCDP2,:1二.巩固应用的余弦值；求二面角是等边三角形，的正方形，是边长为底面平面中，平面如图，在四棱锥例PACBPABABCDABCDPABABCDP2,:1的正切值；，求二面角，若；平面证明：平面上，在线段是矩形，点底面平面中，，在四棱锥如图练习APCBADPAPACBDBDEPCPCEABCDABCDPAABCDP21)2()1(,5:Oxyz三.课堂小结求二面角的方法：第一，依据二面角平面角的定义找(作)角、求证、计算；第二，法向量法：求二面角转化为求两个面法向量所成角的余弦值；第三，射影面积法，不需要作出角，但是有时候计算繁琐SS射影cosaOABABOa四.布置作业小；所成的角（锐角）的大与平面求平面，平面若平面求证：中点分别为中，如图，在三棱台作业ACFDFGHBACDECFBCABABCCFFGHBDBCACHGDEABABCDEF45,,,)2(;//)1(.,,,2:1四.布置作业的平面角的余弦值；求二面角平面求证：的中点是的中点的射影为在底面，，中，如图，在三棱柱作业11111111111)2(;)1(.42,90:2BBDABCADACBDBCABCAAAACABBACCBAABC练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。ABCDA1B1C1D1E1111cosABCEBCSS几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。一、几何法：1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法:ABOa