高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳

范文范例指导参考学习资料整理分享用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E12，1，12，F0，1，12，EF＝－12，0，0，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．(1)因为EF＝－12AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.范文范例指导参考学习资料整理分享证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，1BD＝(0,2，－2)，1BD·BA＝0，1BD·BD＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，Ga2，1，4，F(0,1,4)，则EG＝a2，1，1，EF＝(0,1,1)，1BD·EG＝0＋2－2＝0，1BD·EF＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a||n||a|.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2||n1||n2|.例1、如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．[解](1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以1AB＝(2,0，－4)，1CD＝(1，－1，－4)．因为cos〈1AB，1CD〉＝1AB·1CD|1AB||1CD|＝1820×18＝31010，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010.范文范例指导参考学习资料整理分享(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，1AC＝(0,2,4)，所以n1·AD＝0，n1·1AC＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)．设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝n1·n2|n1||n2|＝29×1＝23，得sinθ＝53.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为53.例2、如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．[解](1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．则BC＝(1,0，3)，1BB＝1AA＝(－1，3，0)，1AC＝(0，－3，3)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则n·BC＝0，n·1BB＝0.即x＋3z＝0，－x＋3y＝0.可取n＝(3，1，－1)．故cosn，1ACn·1AC|n||1AC|＝－105.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．范文范例指导参考学习资料整理分享(2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．例3、如图，在四棱锥S­ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD.∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE.∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝3，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°.∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE.又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC.∵BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系．则E(0,0,0)，C(0,23，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以CE＝(0，－23，0)，CB＝(2，－23，0)，CS＝(0，－23，1)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CB＝0，n·CS＝0.即2x－23y＝0，－23y＋z＝0.令y＝1，得x＝3，z＝23，则平面SBC的一个法向量为n＝(3，1,23)．设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ，则sinθ＝|n·CE|n|·|CE||＝14，故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为14.例4、如图是多面体ABC­A1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；范文范例指导参考学习资料整理分享(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(－2,0,0)，C(0，－2,0)，C1(－1，－1,2)，则1CC＝(－1,1,2)，11AC＝(－1，－1,0)，1AC＝(0，－2，－2)．设E(x，y，z)，则CE＝(x，y＋2，z)，1EC＝(－1－x，－1－y,2－z)．设CE＝λ1EC(λ0)，则x＝－λ－λx，y＋2＝－λ－λy，z＝2λ－λz，则E－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE＝2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.由BE·11AC＝0，BE·1AC＝0，得－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0，－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC1上存在一点E，CE＝21EC，使BE⊥平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由m·11AC＝0，m·1AC＝0，得－x－y＝0，－2y－2z＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝13＝33，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为33.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B(如图2)．(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E­DF­C的余弦值；范文范例指导参考学习资料整理分享(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出BPBC的值；如果不存在，请说明理由．[解](1)在△ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EF∥AB.又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，23，0)，E(0，3，1)，F(1，3，0)，DF＝(1，3，0)，DE＝(0，3，1)，DA＝(0,0,2)．平面CDF的法向量为DA＝(0,0,2)．设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，则DF·n＝0，DE·n＝0，即x＋3y＝0，3y＋z＝0，取n＝(3，－3，3)，cos〈DA，n〉＝DA·n|DA||n|＝217，所以二面角E­DF­C的余弦值为217.(3)存在．设P(s，t,0)，有AP＝(s，t，－2)，则AP·DE＝3t－2＝0，∴t＝233，又BP＝(s－2，t,0)，PC＝(－s,23－t,0)，∵BP∥PC，∴(s－2)(23－t)＝－st，∴3s＋t＝23.把t＝233代入上式得s＝43，∴BP＝13BC，∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.此时，BPBC＝13.1论证、推理，只需通