高等数学二

高等数学（二）-1-第一章函数、极限和连续第一节函数一、函数的概念1.函数的定义（了解）设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变量x的变化而变化。当变量x在一个非空实数集合D上取某一个数值时，变量y依照某一对应规则f总有唯一确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为D)(x)(xfy，其中x叫做自变量，y叫做因变量或函数。数集D称为这个函数的定义域，记为D或)(fD。当x取定值x0时所对应的y的数值)(00xyf或|0xxy，称为当xx0时，函数)(xfy的函数值。全体函数值的集合Dxxfyy),(|称为函数)(xfy的值域，记为Z或)(fZ。2.分段函数（了解）函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。形如：DDxxgxxfy21)()(例如：1,1,1x32xxxy就是定义在,内的分段函数。3.隐函数（了解）函数y与自变量x的对应规则用一个方程0),(yxF表示的函数，称为隐函数。例如0422yx就是一个隐函数。4.反函数（了解）二、函数的简单性质1.函数的单调性（了解）设函数)(xfy在区间b,a内有定义，如果对于b,a内的任意两点21xx，若恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b,a内单调增加；若恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b,a内单调减少；若恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b,a内严格单调增加；若恒有)()(21xfxf,则称)(xf在区间b,a内严格单调减少。2.函数的奇偶性：（了解）设函数)(xfy的定义区间D关于原点对称（即若Dx，则有Dx）。如果对于定义区间内的任意点x，恒有)()(xfxf，则称)(xf为D内的偶函数；如果恒有)()(xfxf，则称)(xf为D内的奇函数。偶函数：)()(xfxf奇函数：)()(xfxf高等数学（二）-2-3.函数的周期性（了解）周期函数：)()(xfTxf，,x周期：T——最小的正数4.函数的有界性（了解）Mxf)(，),(bax三、基本初等函数1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：xya(a＞0、a≠1)4.对数函数：logayx,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx四、复合函数和初等函数1.复合函数(x)u,)(ufyXx,)]([xfy2.初等函数（了解）由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数第二节极限一、极限的概念1.数列的极限:定义对于数列{}nx，如果当n时，数列nx无限地趋于一个固定的常数A，则称n趋于无穷大时，数列{}nx以常数A为极限，或称数列{}nx收敛于A，记作Axnnlim或Axn（当n时）称数列{}nx以常数A为极限;或称数列{}nx收敛于A.定理:若{}nx的极限存在{}nx必定有界.2.函数的极限：⑴当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim高等数学（二）-3-⑵当0xx时，)(xf的极限：（重点）Axfxx)(lim0左极限：Axfxx)(lim0右极限：Axfxx)(lim0⑶函数极限存在的充要条件：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000二、无穷大量和无穷小量1、无穷大量：)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X在某个变化过程是指：,,,xxx000,,xxxxxx2、无穷小量：0)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3、无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim0)(limxfxfxf4、无穷小量的比较：0lim,0lim⑴若0lim,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若clim（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若lim,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理：若：；，2211~~则：2121limlim三、夹逼性定理1、数列极限存在的判定准则：设：zxynnn（n=1、2、3…）且：azynnnnlimlim则：axnnlim2、函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：)()()(xhxfxg高等数学（二）-4-且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00则：Axfxx)(lim0四、极限的运算规则（重点）若：BxvAxu)(lim,)(lim则：①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[③BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)((limxv推论：①)]()()(lim[21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun②)(lim)](lim[xucxuc③nnxuxu)]([lim)](lim[五、两个重要极限（重点）1．1sinlim0xxx或1)()(sinlim0)(xxx2．exxx)11(limexxx10)1(lim第三节连续一、函数的边续性1、函数在0x处连续定义1设函数)(xf在点0x的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量0()xxxx趋于0时，相应的函数该变量0(()())yyfxfx也趋于0，即0)]()([limlim0000xfxxfyxx，则称函数)(xf在点0x处连续。定义2设函数)(xf在点0x的某个邻域内有定义，如果当0xx时，函数()fx的极限值存在，且等于0x处的函数值0()fx，即)()(lim00xfxfxx则称函数)(xf在点0x处连续。2、左连续、右连续定义设函数()yfx，如果)()(lim00xfxfxx，则称函数()fx在点0x处左连续；设函数()yfx，如果)()(lim00xfxfxx，则称函数()fx在点0x处右连续。3、函数在0x处连续的必要条件：定理：)(xf在0x处连续)(xf在0x处极限存在4、函数在0x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx5、函数在ba,上连续高等数学（二）-5-定义如果函数)(xf在(,)ab上每一点都连续，则称)(xf在(,)ab内连续。如果)(xf在(,)ab内连续，且在左端点xa处)(xf右连续，即)()(limafxfax；在右端点xb处)(xf左连续，即)()(limbfxfbx，则称函数)(xf在[,]ab上连续。二、函数的间断点若)(xf在0x处不连续，则0x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o)(xf在0x处无定义；2o)(lim0xfxx不存在；3o)(0xf在0x处有定义，且)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx。三、函数在0x处连续的性质1、连续函数的四则运算设)()(lim00xfxfxx，)()(lim00xgxgxx1o)()()]()([lim000xgxfxgxfxx2o)()()]()([lim000xgxfxgxfxx3o)()()()(lim000xgxfxgxfxx0)(lim0xgxx2、复合函数的连续性（了解）)]([),(),(xfyxuufy)]([)(lim),()(lim0)(000xfufxxxuxx则：)]([)](lim[)]([lim000xfxfxfxxxx3、反函数的连续性（了解）)(),(),(001xfyxfxxfy)()(lim)()(lim011000yfyfxfxfyyxx四、函数在],[ba上连续的性质1、最大值与最小值定理：)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定存在最大值与最小值。2、有界定理：)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定有界。3、介值定理：)(xf在],[ba上连续在),(ba内至少存在一点0)(f，使得：cf)(，其中：Mcm推论（零点定理）：)(xf在],[ba上连续，且)(af与)(bf异号在),(ba内至少存在一点c，使得：0)(f。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。高等数学（二）-6-第二章一元函数微分学第一节导数与微分一、导数的概念1．导数的定义定义设函数()yfx在0x的某个邻域内有定义，当自变量x在0x处取得增量x（点0xx仍在该领域内）时，相应地函数y取得增量00()()yfxxfx。如果当0x时，函数的增量y与自变量的增量x之比的极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称此极限值为函数()yfx在0x处的导数，并称函数()fx在0x处可导，记作0()fx，0|xxy，0xxdydx即0000()()()limxfxxfxfxx。由于0xxx，则0xxx，当0x时也即0xx，于是上式又可写成0000()()()limxxfxfxfxxx2．左导数与右导数左导数：0000()()()limxxfxfxfxxx右导数：0000()()()limxxfxfxfxxx定理：()fx在0x的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：00()lim()xxfxfx（或：00()lim()xxfxfx）3.函数可导的必要条件：定理：()fx在0x处可导()fx在0x处连续4.函数可导的充要条件：定理：00()xxyfx存在00()()fxfx，二、求导法则1、基本求导公式：（1）()0c（c为常数）（2）1()xx（为任意常数，只要掌握为整数）（3）()lnxxaaa(0,1)aa，()xxee（4）1(log)logaaxex(0,1)aa，1(ln)xx（5）(sin)cosxx（6）(cos)sinxx（7）21(tan)cosxx（8）21(cot)sinxx高等数学（二）-7-（9）21(arcsin)1xx(11)x（10）21(arccos)(11)1xxx（11）21(arctan)1xx（11）21(cot)1arcxx2、导数的四则运算：1o)uvuv（2o)uvuvuv（3o2uuvuvvv(0)v3、复合函数的导数：(),(),[()]yfuuxyfxdydydudxdudx，或{[()]}[()]()fxfxx☆注意{[()]}fx与[()]fx的区别：{[()]}fx表示复合函数对自变量x求导；[()]fx表示复合函数对中间变量()x求导。4、隐函数的导数5、高阶导数：(3)(),(),()fxfxfx或()(1)()[()],(2,3,4)nnfxfxn函数的n阶导数等于