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第5章代数系统离散数学本章说明本章的主要内容–一元和二元运算定义及其实例–二元运算的性质–代数系统定义及其实例–子代数与后面各章的关系–是后面典型代数系统的基础5.1二元运算及其性质5.2代数系统本章小结作业本章内容5.1二元运算及其性质定义5.1设S为集合,函数f:S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。举例f:N×N→N,f(x,y)=x+y是自然数集合N上的二元运算f:N×N→N,f(x,y)=x-y不是自然数集合N上的二元运算称N对减法不封闭。说明验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点:S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。(1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,加法、减法不是。(4)设S={a1,a2,…,an},aiaj=ai为S上二元运算。例5.1例5.1(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即111212122212(),,1,2,...,nnnijnnnnaaaaaaMRaRijnaaa则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。(6)S为任意集合,则∪、∩、-、为P(S)上的二元运算。(7)SS为S上的所有函数的集合,则合成运算为SS上的二元运算。一元运算定义5.2设S为集合,函数f:S→S称为S上的一元运算,简称为一元运算。例5.3(1)求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。(2)求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*上的一元运算。(3)求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。(4)在幂集P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算。(5)设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,ASS,求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。(6)在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。一元运算举例可以用、、·、、、等符号表示二元或一元运算,称为算符。–设f:S×S→S是S上的二元运算,对任意的x,y∈S,如果x与y的运算结果为z,即f(x,y)=z,可以利用算符简记为xy=z。–对一元运算,x的运算结果记作x。例题设R为实数集合,如下定义R上的二元运算x,y∈R,xy=x。那么34=3,0.5(3)=0.5。二元与一元运算的算符函数的解析公式运算表(表示有穷集上的一元和二元运算)二元运算的运算表anan…ana2ana1an……………a2an…a2a2a2a1a2a1an…a1a2a1a1a1an…a2a1一元运算的运算表anan……a2a2a1a1aiai二元与一元运算的表示例5.4设S={1,2},给出P(S)上的运算和~的运算表,其中全集为S。的运算表{1}{2}{1,2}{1,2}{1}{1,2}{2}{2}{2}{1,2}{1}{1}{1,2}{2}{1}{1,2}{2}{1}~的运算表{1,2}{1}{2}{2}{1}{1,2}~aiai解答例5.4例5.5设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下xy=(xy)mod5,x,y∈S求运算的运算表。解答例5.5123411234224133314244321定义5.3设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y∈S都有xy=yx,则称运算在S上满足交换律。定义5.4设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,z∈S都有(xy)z=x(yz),则称运算在S上满足结合律。说明:若+适合结合律,则有(x+y)+(u+v)=x+y+u+v。二元运算的性质二元运算的性质定义5.5设为S上的二元运算,如果对于任意的x∈S有xx=x,则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x,则称x为运算的幂等元。举例:普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元,0和1是乘法的幂等元。例题Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集;Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2;P(B)为幂集;AA为从A到A的函数集,|A|2。集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并∪交∩相对补对称差有有无有有有无有有有无无AA函数复合无有无定义5.6设和为S上两个二元运算,如果对于任意的x,y,z∈S,有x(yz)=(xy)(xz)(左分配律)(yz)x=(yx)(zx)(右分配律)则称运算对运算满足分配律。说明:若*对运算分配律成立,则*对运算广义分配律也成立。x(y1y2…yn)=(xy1)(xy2)…(xyn)(y1y2…yn)x=(y1x)(y2x)…(ynx)二元运算的性质定义5.7设和为S上两个可交换的二元运算,如果对于任意的x,y∈S,都有x(xy)=xx(xy)=x则称运算和满足吸收律。二元运算的性质Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集;Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2;P(B)为幂集;AA为从A到A的函数集,|A|2。集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并∪与交∩∪对∩可分配∩对∪可分配有交∩与对称差∩对可分配无例题定义5.8设为S上的二元运算,如果存在元素el(或er)S,使得对任意x∈S都有elx=x(或xer=x)则称el(或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元,则称e为S上关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。运算可以没有左单位元和右单位元。运算可以只有左单位元。运算可以只有右单位元。运算可以既有左单位元,又有右单位元。说明二元运算中的特异元素—单位元二元运算中的特异元素—零元定义5.9设为S上的二元运算,如果存在元素θl(或θr)∈S,使得对任意x∈S都有θlx=θl(或xθr=θr),则称θl(或θr)是S上关于运算的左零元(或右零元)。若θ∈S关于运算既是左零元又是右零元,则称θ为S上关于运算的零元。运算可以没有左零元和右零元。运算可以只有左零元。运算可以只有右零元。运算可以既有左零元,又有右零元。说明二元运算中的特异元素—逆元定义5.10设为S上的二元运算,eS为运算的单位元,对于x∈S,如果存在yl(或yr)∈S使得ylx=e(或xyr=e)则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)。若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元,则称y为x的逆元。如果x的逆元存在,则称x是可逆的。运算可以没有左逆元和右逆元。运算可以只有左逆元。运算可以只有右逆元。运算可以既有左逆元,又有右逆元。说明特异元素的实例集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法普通乘法01无0x的逆元xx的逆元x1Mn(R)矩阵加法矩阵乘法n阶全0矩阵n阶单位矩阵无n阶全0矩阵x逆元xx的逆元x1(x可逆)P(B)并∪交∩BB的逆元为B的逆元为B定理5.1定理5.1设为S上的二元运算,el、er分别为运算的左单位元和右单位元,则有el=er=e且e为S上关于运算的唯一的单位元。el=eler(er为右单位元)eler=er(el为左单位元)所以el=er,将这个单位元记作e。假设e也是S中的单位元,则有e=ee=e所以,e是S中关于运算的唯一的单位元。证明定理5.2定理5.2设为S上的二元运算,l和r分别为运算的左零元和右零元,则有l=r=且为S上关于运算的唯一的零元。l=lr(r为左零元)lr=r(l为右零元)所以l=r,将这个零元记作。假设也是S中的零元,则有==所以,是S中关于运算的唯一的零元。证明定理5.3定理5.3设为S上的二元运算,e和分别为运算的单位元和零元,如果S至少有两个元素,则e。用反证法。假设e=,则x∈S有x=xe=x=这与S中至少含有两个元素矛盾。所以,假设不成立,即e。证明定理5.4定理5.4设为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S,如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl=yr=y且y是x的唯一的逆元。由ylx=e和xyr=e,得证明yl=yle令yl=yr=y,则y是x的逆元。=yl(xyr)=(ylx)yr=eyr=yr假若yS也是x的逆元,则y=ye=y(xy)=(yx)y=ey=y所以y是x唯一的逆元,记作x1。消去律定义5.11设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,z∈S,满足以下条件:(1)若xy=xz且x,则y=z(左消去律)(2)若yx=zx且x,则y=z(右消去律)则称运算满足消去律。例如:整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。例5.6例5.6对于下面给定的集合和该集合上的二元运算,指出该运算的性质,并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。(1)Z+,x,y∈Z+,xy=lcm(x,y),即求x和y的最小公倍数。(2)Q,x,yQ,xy=x+y-xy解答(1)运算可交换、可结合、是幂等的。xZ+,x1=x,1x=x,1为单位元。不存在零元。只有1有逆元,是它自己,其他正整数无逆元。(2)Q,x,yQ,xy=x+y-xy运算满足交换律,因为x,yQ,有xy=x+y-xy=y+x-yx=yx运算满足结合律,因为x,y,zQ,有(xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-xz-yz+xyzx(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz运算不满足幂等律,因为2Q,但22=2+2-22=02运算满足消去律,因为x,y,zQ,x1(1为零元),有xy=xzx+y-xy=x+z-xzy-z=x(y-z)y=z由于是可交换的,所以右消去律成立。同理可证明左消去律成立,所以消去律成立。例5.60是运算的单位元,因为xQ,有x0=x+0-x0=x=0x1是运算的零元,因为xQ,有x1=x+1-x1=1=1xxQ,欲使xy=0和yx=0成立,即x+y-xy=0得(1)xyxx=-1所以,1(1)xxxx=-1例5.7例5.7设A={a,b,c},A上的二元运算、、如表所示。(1)说明、、运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。(2)求出关于、、运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。abcaabcbbcaccab运算满足交换律、结合律和消去律,不满足幂等律。单位元是a,没有零元,且a-1=a,b-1=c,c-1=b。运算满足交换律、结合律和幂等律,不满足消去律。单位元是a,零元是b,只有a有逆元,a-1=a。运算满足结合律和幂等律,不满足交换律和消去律。没有单位元,没有零元,没有可逆元。解答abcaabcbbbbccbcabcaabcbabccabc复习分析5.2代数系统定义5.12非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记做S,f1,f2,…,fk。5.2代数系统实例:N,+、Z,+,
本文标题:离散数学-代数系统
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