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2.9边界层运动微分方程本节将以平壁层流为例,建立边界层运动微分方程,并根据布拉修斯相似原理讨论其分析解。2.9.1边界方程的推导普朗特充分运用了边界层很薄这一特性,通过分析N-S方程中各项数量级,并忽略高阶小量,大大简化了N-S方程,导出了边界层微分方程,成功地解决了边界层的定量计算。下面先让我们以x方向N-S方程为例,回忆一下N-S方程都有哪些项。222222zuyuxuxpXDDuxxxx惯性力体积力压力黏性力量级比较方程中的变量y限制在边界层之内,满足不等式0≦y≦δ。也就是说,y与δ为同一量级,记为:y≈δ。δ与x方向的距离相比要小很多,即是小量。符号≈表示数量级相同。下面估算(2-186)中各项的量级。在壁面上,ux=0;在边界层的外缘ux具有u0的量级,此处u0是主流速度(来流速度)。当y由0变到δ时,ux由0变到u0,所以有:x2-187a0uyuyuxx20222uyuyuxx2-187b量级比较1、假定流体沿x方向的直线边界流动并形成边界层,其厚度为δ。2、假定平板无限宽,流速在z方向无变化。3、在边界层流动中,重力的影响可忽略不计,即忽略体积力。则N-S方程可以简化为如下形式:22221yuxuxpyuuxuuuxxxyxxx22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186a2-186b量级比较同理,沿x方向有:由二维连续性方程,可得:xuxux02022xuxux2-188a0yyuxuxyuxuxy2-1892-188b量级比较比较(2-187a)、(2-188a)和(2-189)可得:即:在壁面上uy=0,并根据边界层内uy的量级,从而得一下(2-191)式:xuxuyuyuxxyyxuyxuuxy02-190302y2xuxu20xuxuyxuyuy0222-191c2-191b2-191a量级比较比较式(2-186a)中各项的量级,有:显然,方程中的与相比可以忽略,故式(2-186a)简化为:22221yuxuxpyuuxuuuxxxyxxx2-186axu20xu2020xu20u22xux22yux量级比较在边界层内,黏性力与惯性力应有相同量级,故两者之比应近似为1,即:由此可以得出:221yuxpyuuxuuuxxyxxx2-192xu20xu2020u惯性力黏性力压力1Re220202020xxxuxuuxu:2-193Re1x2-194量级比较式(2-194)表明,层流边界层厚度的量级大小等于或再分析式(2-186b),其各项的量级如下:至此,(2-186)格式的量级已经写出,让我们对比来看看:Rex0ux22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186b220xu220xu30xuxu0221yuxpyuuxuuuxxyxxx2-192xu20xu2020u22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186b220xu220xu30xuxu0简化后的N-S方程量级比较惯性力压力黏性力量级比较惯性项和为同一量级,但不同于及的量级,两者相差倍,是一个小量;至于,一般可以认为具有惯性项的量级,即。于是,式(2-186b)左端三项均系小量,可以忽略。另一方面,与相比也可以忽略,故式(2-186b)就简化为:xuuyxyuuyyxuuxxyuuxyxyu220xuuy22yuy22yux0yp2-195量级比较式(2-195)表明,压力与y无关,只是x的函数。因此在y方向上,边界层内压力不变,等于边界层外缘处的压力。事实上,通过势流理论计算得到的边界层外缘处压力,与实验测得的物体表面的压力吻合,也可证明(2-195)式的正确性。此式颇为重要,据此可直接根据欧拉方程计算边界层外缘处压力,获得边界层中的压力。边界层方程经量级比较,式(2-186)的两个方程只留下一个,其中有两个未知数ux和uy,假定压力已经预先确定,再加上二维连续性方程对于稳态流动,,写成方程式(2-186)简化为:式(2-196)为普朗特边界层运动微分方程,适用于平壁稳态不可压缩流体流动。不适用与平壁前缘。0yyuxux0xuxpdxdp221yudxdpyuuxuuxxyxx2-196边界层条件边界层方程的边界条件是:根据布拉修斯原理可以求解边界层方程,得出ux(x,y),uy(x,y)和p(x,y),再按牛顿黏性定律,就可以得出边壁上的剪应力和摩擦阻力。0y0yxuuy0uux2-198b2-198a边界条件2.9.2边界层方程的精确解——布拉修斯相似原理图2-33为平壁边界层流动示意图,边界层外主体流速为u0,图中示出了相距∆x的两截面的速度分布曲线,前已诉及,边界层中的压力p与y无关,故p1=p2,p3=p4。因点2和4均处于边界层以外,故p2和p4的关系符合伯努利方程:42422222pupu2-199边界层方程的精确解式中,u2和u4分别为点2和点4处的速度,显然有:将式(2-200)带入式(2-199)得:由此可得:2-200042uuu42pp2-201a2-201b31pp边界层方程的精确解式(2-201)表明,在边界层内,压力不随x而变,即:故普朗特边界层方程最终可以简化为:0dxdp2-20222yuyuuxuuxxyxx2-203边界层方程的精确解由于δ随x而逐渐变大,每一个x处都存在相应的速度分布曲线,且具有共同特征:壁面速度为零,边界层外缘速度为u0。也就是说它们是相似的。布拉修斯首先观察到这一特征,并假设在距平壁前缘不同的x距离处,速度分布的形状是相似的,即:该式即为布拉修斯相似原理的数学式。0uux∽y2-204边界层方程的精确解将式(2-194)代入(2-204)可得:式(2-205)右侧的量为x和y的函数,可用ƞ(x,y)表示,即:由上诉两式可知,和ƞ(x,y)相似,即存在某种函数关系:0uux∽xuy02-205xuyyx0),(2-2060uux边界层方程的精确解故可得:或由此可见,通过引进量纲为一的变量ƞ,已使两个独立自变量x,y合二为一。考虑到流函数ѱ与两个因变量ux与uy有关,但ѱ是有量纲的,故还需寻找一个量纲为一的流函数将ux和uy统一起来。前已知,流函数的定义式为:)(0uux)(0uux2-207rur1ru2-109a2-109b边界层方程的精确解将流函数定义式代入式(2-207)可得:积分式(2-208)得:将式(2-206)对y求导,得:2-208)(0uydyu)(02-209duxdy02-210边界层方程的精确解将式(2-210)代入式(2-209),经整理得:虽然无法获知式中积分项的具体函数形式,但可以推知它必为ƞ的函数,故可令:即将式(2-211)代入式(2-212)得:量纲为一的流函数2-211dxudyu)()(002-212df)()()()(f0)(xuf2-213边界层方程的精确解由此可得速度分量ux和uy分别是:2-214a)(0fuyyux2-214b)(ffxufxuxfxuxuy00021)(21)(边界层方程的精确解ux和uy的一阶导数和二阶导数分别为:2-215afxuxux021fxuuyux00fxuyux20222-215b2-215c2-215边界层方程的精确解将上式各式代入(2-203)得:经简化后,得关于f(ƞ)的微分方程为:2-21622yuyuuxuuxxyxxfxufffxuffxu202020)(2202fff2-217边界层方程的精确解相应的边界条件变为:由此可知,经过上述相似变换,普朗特边界层方程已由二阶非线性偏微分方程转换成三阶非线性常微分方程。结合式(2-218)所示的三个边界条件,可获得f(ƞ)的精确解。2-218b00ff1f边界条件2-218a边界层方程的精确解因方程(2-217)是非线性的,难以直接获得精确解。布拉修斯用幂级数将其解表达为:式中,a0,a1,a2...为待定系数,根据边界条件加以确定。将式(2-219)依次对ƞ求一阶导数、二阶导数和三阶导数,得:2-219...!4!3!2)(44332210aaaaaf...!3!2)(342321aaaaf...!3!2)(352432aaaaf...!3!2)(362543aaaaf2-220a2-220b2-220c边界层方程的精确解将边界条件f(0)=0代入式(2-219),得a0=0。将边界条件f'(0)=0代入式(2-220a),得a1=0。在此基础上,将式(2-219)、(2-220b)、(2-220c)代入(2-217),合并同类项,得:式(2-221)是一恒等式,因其右侧为零,故左侧多项式中各项的系数均为零,得:由此可得:2-2210....2!222522243)(aaaa...02020252243,,,aaaa2-222...20022543,,,aaaa2-223边界层方程的精确解式(2-223)表明,除了为零得系数以外,所有非零项系数均可表达为a2的函数。将各系数代入式(2-219),得:式中系数a2可根据边界条件f'(∞)=1,采用数值计算法确定,结果为将a2值代入式(2-224),可得f(ƞ)的表达式为:该式即为普朗特边界层方程精确解,又称布拉修斯精确解。2-224...!118375!8411!521!2)(114283252222aaaaf33206.02a2-225...0000024972.000045943.016603.0)(852f2-226边界层方程的精确解至此,我们已求出边界层方程精确解,它适用于平板壁面上不可压缩流体的层流流动。再加上推导时的简化过程,我们可以得出此方程的几个适用条件:1、平板壁面2、不可压缩流体3、稳态流动4、层流流动由于式(2-226)为无穷级数之代数和,为方便起见,研究者们已将式(2-226)列成表格,参加附录2。边界层方程精确解适用条件边界层内速度分布函数在壁面附近(ƞ1),由式(2-214)可得壁面附近速度的近似表达式:2-214)(0fuux)(ffxuuy021yuux0320yuuy速度近似表达式2-227a2-227b边界层厚度在y=δ时,ux=0.99u0。由ux=u0f'(ƞ),可知f'(ƞ)=0.99,查表可得所对应的ƞ=5.0,于是有:式(2-228)又可变形为:根据牛顿黏性定律可得壁面上的剪应力为:其中,f''(0)=0.332。2-22800.5ux21Re0.5xx2-22921-Re332.0)0(20000xyxwxufxuuyu
本文标题:边界层运动微分方程
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