liu10-1二重积分的概念与性质

点、线、面、体及其性质研究第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分()yfx[,]xab(,)zfxy(,)xyD(,,)ufxyz(,,)xyz复习定积分，d)(axxf，bxxfd)(.d)(xxf01lim()niiiAfx1.曲边梯形的面积2.定义3.推广baxxfd)(01lim()niiifx(1)被积函数在[a,b]为有界函数.)(xf(2)积分区间[a,b]是有限区间.(1)被积函数在[a,b]为无界函数.)(xf(2)积分区间[a,b]是无限区间.4.定积分思想：分割、近似、求和、取极限.三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质第十章10-1二重积分的概念与性质柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：),(yxfzD求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，曲顶柱体曲顶.一、引例解法:类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”１．曲顶柱体的体积),(yxfzDxzyo求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．xozy(,)zfxyD(,)iifi步骤如下：用若干个小平顶柱xzyoD),(yxfz先分割曲顶柱体的底，.),(1iiniif曲顶柱体的体积(,)iiiivf为各小闭区域的直径的最大者.曲顶柱体的体积，体体积之和近似并取典型小区域，i),(ii0limV２．求平面薄片的质量xyo(,)iiiim),(iii有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为其面密设D的面积为,则M若非常数,仍可用(常数)“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.所有小块质量之和近似等于薄片总质量:01lim(,).niiiiM其中：为各小闭区域的直径的最大者.两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:(3)极限值均取决与一个函数与其定义区域.01lim(,).niiiiVf01lim(,).niiiiM二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,(,)fxy(,)Ifxy称为在D上的二重积分.,xy积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,则称称为积分变量1.对定义的说明：Dyxfd),(表示一个确定的数值，它只与Dyxf、),(有关，与D的分割法、),(ii的取法、积分变量所使用的字母无关，即(,)d(,)d.DDfxyfuv(1)(2)当),(yxf在闭区域D上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)底为D，顶为(,)zfxy的曲顶柱体的体积为：d),(Dyxfv)0),((yxf平面薄片的质量为：(,)d((,)0)Dmxyxy2.二重积分的几何意义Dyxfd),(Dyxfd),(即当被积函数大于零时，当被积函数小于零时，二重积分二重积分是柱体的体积．特殊地：若在D上,，1),(yxf则Dyxfd),(DdD的面积是柱体的体积的负值.)0),((yxf,v)0),((yxf,vxzyoD),(yxfzi),(iixzyo),(yxfzDi),(ii222222xyRRxydxdy例如？d(,)Dfxyyxddd则面积元素为xyoD3.直角坐标系下的面积元素d(,.d)Dxfyxy如果在D上可积,),(yxf也常ddxy二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作222222xyRRxydxdy例如？xzyRo222zRxy性质１当k为常数时，Dyxkfd),(性质２Dyxgyxfd)],(),([.d),(d),(DDyxgyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质1,性质2统称为线性性质..d),(Dyxfk性质３对区域D具有可加性Dyxfd),(性质４若为D的面积，Dd1性质５若在D上),,(),(yxgyxfDyxfd),(特殊地.d),(d),(DDyxfyxf12()DDD则有1d),(Dyxf.d),(2Dyxf.dD.d),(Dyxg性质6（二重积分中值定理）Dyxfd),(Dyxfd),((二重积分估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点(,),使得mM),(f证：(,),fxyD在上连续(,)d,DmfxyM0,当时1(,)d,DmfxyM由闭区域上连续函数的介质定理，(,)D，使1(,)(,)dDffxy，(,)d(,).Dfxyf=例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而域D位,1yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1D1.xy相切与直线解2yx例2比较积分d)ln(Dyxd])[ln(2Dyx与的大小，其中D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜边方程为在D内有21yx故0ln()1,xy于是d)ln(Dyx2ln()[ln()],xyxy因此.d])[ln(2Dyxoxy1212D2yx...,e例3.估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解:D的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96I210101010D10011021xyo解πab，例4区域D的面积在D上22()dxyDIeD不作计算,估计的值,其中是椭圆闭区22221(0).xybaab域：2220,xya22yxe,d222)(aDyxee22()dxyDeab2.aabe由性质6知01e,2ae22(49)dDIxyD不作计算,估计的值,其思考：中题是圆形224.xy区域.422yx解在D上，9422yx2π2dyxD)94(22π36.π100例5估计积分d)94(22yxID的值，其中D是圆形区域：而区域D的面积由性质6知99)(422yx259444π，所以I即9π4，25π4四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算二重积分.(1)Dy若区域关于轴对称,1(,)(,),0,DxyxyDx记则(,)dDfxy(,)(,)fxyfxy当时12(,)dDfxy，(,)(,)fxyfxy当时0，xyO1DD(2)Dx若区域关于轴对称,2(,)(,),0,DxyxyDy记则(,)dDfxy(,)(,)fxyfxy当时22(,)dDfxy，(,)(,)fxyfxy当时0，yzxxyz3(3)(,),00DDxyDxy若区域关于原点对称,记或，则(,)dDfxy(,)(,)fxyfxy当时32(,)dDfxy(,)(,)fxyfxy当时0，(4)Dyx若区域关于对称则注意:,使用时必须兼顾被积函数和积分区域两方面只有被积,.函数的奇偶性和积分区域的对称性相匹配时才能使用(,)dd(,)ddDDfxyxyfyxxy注：关于对称，即互换，保持不变.Dyx,xyD（轮换对称性），(,)dDfyx1[(,)d(,)d],2DDfxyfyx22(,)4,0,0,()DxyxyxyfxD设区域为例6(2005),ab上的正值连续函数，为常数,则()()d()()Dafxbfyfxfy（）();();()();().22ababAabBCabD解由轮换对称性，有()()d()()Dafxbfyfxfy()()d()()Dafybfxfxfy()()()()1dd2()()()()DDafxbfyafybfxfxfyfxfy(()())(()())1d2()()Dafxfybfyfxfxfyd2Dabπ.2ab21πR4D例7.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有d)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxx又D的面积为1,故结论成立.yox1D1DDyxyxfyxfdd),(d),(五、小结定义：性质:.),(lim10iiniif2.二重积分:思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较,Ixxfbad)(iniixf)(lim10找出它们的相同之处与不同之处.二重积分与定积分有类似的性质.1.定积分:定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，思考题解答:被积函数为定义在平面区域上的二元函数．的一元函数，积分的积分区域为区间，且此值只与被积函数及积分区域有关．而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在区间上不同的是定要求:复习上期所学的积分公式和积分法则(直接法,换元法,分部法).作业P136：2,4(4),5(2)(3).预习P137~148.被积函数相同,且非负,思考与练习yxyxIyxdd12解:321,,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因0y1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1D3.计算解:)cos(yx0220yd20d]cos[sinyyyyysincos202xbad][六、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd)