26.1.2二次函数公开课绝对经典

函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.一般地,形如的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)二次函数:一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图像?画二次函数的图象。2yx解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x9944110描点法探究（2）在平面直角坐标系中描点：xyo-4-3-2-11234108642-21y=x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=x2的图象.画二次函数的图象。2yx解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x-9-9-4-4-1-10描点法探究（2）在平面直角坐标系中描点：xyo-4-3-2-11234-2-4-6-8y=-x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=-x2的图象.-10抛物线：像这样的曲线通常叫做抛物线。二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数的图象叫做抛物线。知识要点2yaxbxc2yaxbxc这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.2yx对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小，最小值是0.当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=42yx2yxy抛物线y=-x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.2xy2xy抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴上方(除顶点外)在x轴下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.y=x2、y=-x2下面是两个同学画的y=0.5x2和y=-0.5x2的图象,你认为他们的作图正确吗?为什么?在同一坐标系中画出下列函数的图象。22232)3(2)2(21)1(xyxyxy2xya0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同顶点都是原点(0,0)22xy只是开口大小不同在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象，会是什么样?探究a0，开口都向下;对称轴都是y轴;增减性相同.顶点都是原点(0,0)22xy只是开口大小不同2xy开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2(a0)y=ax2(a0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.越小,开口越大.越大,开口越小.aay=ax2知识要点一般地，抛物线y=ax2的对称轴是____轴，顶点是_______.当a0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a越大，抛物线的开口越___;当a0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大Y=ax2+k122xy二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性相同.顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,1)22xy位置不同;最小值不同:分别是1和0在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和y=2x2的图象,会是什么样?探究xyo-4-3-2-1123454321-1y=x2不用描点法，你知道y=x2＋1、y=x2－1的图象是怎样的吗？y=x2＋1y=x2－1例如：二次函数上下平移的口决上加下减y=x2y=x2＋1y=x2－1向上平移1个单位向下平移1个单位y=a(x－h)2y=a(x－h)2＋ky=a(x－h)2－k向上平移k个单位向下平移k个单位一般：顶点式抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+c(a0)y=ax2+c(a0)（0，c）（0，c）y轴y轴当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).当c0时,在x轴的下方(经过三,四象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).向上向下当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.caxy2caxy2y=ax2+c探究在同一坐标系中作二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象,会是什么样?212xy22xy二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴不同；增减性相同.顶点不同,分别是原点(0,0)和(1,0)位置不同;最小值相同212xy22xy二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴不同；增减性相同.顶点不同,分别是原点(0,0)和(－2,0)位置不同;最小值相同在同一坐标系中作二次函数y=2(x＋1)2和y=2x2的图象,会是什么样?二次函数左右平移的口决左加右减y=2x2y=2(x+1)2向左平移1个单位向右平移1个单位例如：y=2(x－1)2y=ax2＋k向左平移h个单位向右平移h个单位y=a(x－h)2＋ky=a(x＋h)2＋k一般：例题你能说出函数的图象与函数的图象的关系吗?21312xy231xy21312xy231xy21312xy231xy231xy21312xy2113yx向右平移1个单位向上平移2个单位231xy21312xy向右平移1个单位向上平移2个单位——或者——2123yx知识要点一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.y=a(x－h)2＋k顶点式的特点顶点坐标：对称轴：（h，k）x=h当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；二次函数的一般式y=ax²+bx+c的图象是怎样的？探究cbxaxy2ccxabxa2提取二次项系数acababxabxa22222配方:加上并减去一次项系数一半的平方222442abacabxa整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.44222abacabxa化简:去掉中括号配方法y=ax²+bx+c一般式顶点坐标：对称轴：.44222abacabxa2bxa2424bacbaa，知识要点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位(当0时,向右平移;当0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移||个单位(当0时向上平移;当0时,向下平移)得到的.小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系abacab44,22abx2直线ab2ab2ab2abac442abac442abac442abac442（1）设矩形的一边AB=xcm，那么AD边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的最大值是多少?在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.MN40cm30cmABCD┐实际问题最大面积问题ABCD┐MN3:1,30.4ADbcmbx解设则40cm30cm2332303044yxbxxxx.30020432xxcmbcm20,300.xy最大值当时24:20,300.24bacbxyaa最大值使用公式当时知识要点一般地，因为抛物线y=ax²+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数y=ax²+bx+c有最小（大）值。2bxa244acba2320300.4yx课堂小结形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。2yaxbxc1.二次函数：2、抛物线：二次函数的图象都是抛物线。一般地，抛物线y=ax2的对称轴是____轴，顶点是_______.当a0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a越大，抛物线的开口越___;当a0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大3、抛物线y=ax2的图象：4、抛物线y=a(x－h)2＋k图象的移动：一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.（1）当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.5、抛物线y=a(x－h)2＋k（顶点式）的图象特点：顶点坐标：对称轴：.44222abacabxa2bxa2424bacbaa，6、抛物线y=ax²+bx+c（一般式）的图象特点：y=ax²+bx+c一般地，因为抛物线y=ax²+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数y=ax²+bx+c有最小（大）值。2bxa244acba7.二次函数的最值问题：1.下列函数中,哪些是二次函数？（1）y=3(x－1)²+1（3）s=3－2t2（5）y=(x+3)²－x2（6）v=10πr²21(4)yxx1(2)yxx（是）（是）（不是）（是）（不是）（不是）随堂练习2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是二次函数关