高三数学第二轮复习：三角函数的图像与性质课件ppt

一、三角函数图象的作法1.几何法y=sinx作图步骤:(2)平移三角函数线;(3)用光滑的曲线连结各点.(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;xyoPMAxyoy=sinx-11o1A22322.五点法作函数y=Asin(x+)的图象的步骤:(1)令相位x+=0,,,,2,解出相应的x的值;232(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.(2)求(1)中x对应的y的值,并描出相应五点;3.变换法:函数y=Asin(x+)+k与y=sinx图象间的关系:①函数y=sinx的图象纵坐标不变,横坐标向左(0)或向右(0)平移||个单位得y=sin(x+)的图象;②函数y=sin(x+)图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数y=sin(x+)的图象;1③函数y=sin(x+)图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数y=Asin(x+)的图象;④函数y=Asin(x+)图象的横坐标不变,纵坐标向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得y=Asin(x+)+k的图象.要特别注意,若由y=sin(x)得到y=sin(x+)的图象,则向左或向右平移应平移||个单位.二、三角函数图象的性质注正切函数的对称中心有两类:一类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.1.正弦函数y=sinx(xR)是奇函数,对称中心是(k,0)(kZ),对称轴是直线x=k+(kZ);余弦函数y=cosx(xR)是偶函数,对称中心是(k+,0)(kZ),对称轴是直线x=k(kZ)(正,余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点).222.正切函数y=tanx(xR,x+k,kZ)是奇函数,对称中心是(,0)(kZ).2k2三、正、余弦函数的性质1.定义域:都是R.2.值域:都是[-1,1].对y=sinx,当x=2k+(kZ)时,y取最大值1;当x=2k+(kZ)时,y取最小值-1;对y=cosx,当x=2k(kZ)时,y取最大值1,当x=2k+(kZ)时,y取最小值-1.2233.周期性:①y=sinx、y=cosx的最小正周期都是2;②f(x)=Asin(x+)和f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是T=.||24.奇偶性与对称性:正弦函数y=sinx(xR)是奇函数,对称中心是(k,0)(kZ),对称轴是直线x=k+(kZ);余弦函数y=cosx(xR)是偶函数,对称中心是(k+,0)(kZ),对称轴是直线x=k(kZ)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点).225.单调性:y=sinx在[2k-,2k+](kZ)上单调递增,在[2k+,2k+](kZ)上单调递减;y=cosx在[2k,2k+](kZ)上单调递减,在[2k+,2k+2](kZ)上单调递增.222232.值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值.1.定义域:{x|x+k,kZ}.23.周期性:是周期函数且周期是,它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期.注一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.四、正切函数的性质课前热身1.给出四个函数:(A)y=cos(2x+π/6)(B)y=sin(2x+π/6)(C)y=sin(x/2+π/6)(D)y=tan(x+π/6)则同时具有以下两个性质的函数是()①最小正周期是π②图象关于点(π/6，0)对称.2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论中正确的是()(A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π(B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1(C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象(D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象AD3.将函数y=f(x)sinx的图象向右平移π/4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x，则f(x)是()(A)cosx(B)2cosx(C)sinx(D)2sinxB4.函数y=|tgx|·cosx(0≤x＜3π/2，且x≠π/2)的图象是()C【解题回顾】这类问题的求解难点是φ的确定，除以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为x=x′+π/6，y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′，而x′=x-π/6，故所求函数y=3sin[2(x-π/6)]5.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和(11π/12，-3)．求该函数的解析式6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,求a的值.8例1、函数)3sin(2xy的周期是T，且2T4,（1）求正整数；(2)设1是中的最小值，用“五点作图法”作函数)3sin(21xy的图象，并说明图象可由函数xysin的图象经过怎样的变换得到.例1、解：（1）2或3，1=2；（2）列表x61253212116732x02232y02020描点，并用平滑曲线将它们连接起来，得到函数)32sin(2xy在一个周期内的简图，再利用函数的周期性，把所得的图象向左、右扩展，即得到函数在R上的图象将函数xysin图象上的点向右平移3个单位，得到函数)3sin(xy的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)32sin(xy的图象；再将所得图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就得到函数)32sin(2xy的图象.例2：已知函数,23cossincos2)(2xxbxaxf.21)4(,23)0(ff且(1)求)(xf的最小正周期；(2)求)(xf的单调递减区间；(3)函数)(xf的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？例3:在△ABC中,已知内角,3A32BC边yxB周长为设内角,的解析式和定义域；求函数)()1(xfy的最大值。求y)2(冲刺10T9、平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos),cos,1(xxQxP（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数)(xf；（2）求的最值.解（1）cosOQOPOQOP，xxxxx22cos1cos2coscos)cos1(coscos即xxxf2cos1cos2)()44(x（2）xxcos1cos2cos，又]223,2[cos1cosxx，]1,322[cos，0min，322arccosmax.冲刺10T10已知向量(2sin,cos),(3cos,2cos)mxxnxx，定义函数()log(1),(0,1)afxmnaa（1）求函数()fx的最小正周期；（2）确定函数()fx的单调递增区间.1、解：（1）223sincos2cos3sin2cos21mnxxxxx，∴()log(1)log[2sin(2)]6aafxmnx，注意到定义域，其周期T.（2）令()2sin(2)6gxx，则使()0gx且递增的区间是(,],126kkkz使()0gx且递减的区间是5(,],612kkkz，∴当01a时，函数()fx的递增的区间是5(,],612kkkz，当1a时，函数()fx的递增的区间是(,],126kkkz.