常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性微分方程的解的结构分析【摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。【关键词】常系数线性微分方程结构一阶常系数齐次线性微分方程0axdtdx，（1.1）的求解上式可以改写为adtxdx，（1.2）于是变量x和t被分离，再将两边积分得catxln，（1.3）这里的c为常数。又由对数的定义，上式可以变为atcex，（1.4）其中c=,因为x=0也是方程的解，因此c可以是任意常数。这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。一阶常系数微分方程)()(xQyxPdxdy，（2.1）其中P（x），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q（x）=0,上式就变为yxPdxdy)(，（2.2）上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到dxxPydy)(，（2.3）两边同时积分，得到dxxpcey)(，（2.4）这里c是常数。若Q（x）0,那么上式就变成了一阶非齐次线性微分方程。我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶齐次线性微分方程的解dxxpcey)(，（2.5）中的常数c变易成为待定的函数c（x）,令dxxpexcy)()(，（2.6）微分之，就可以得到dxxpdxxpexPxcedxxdcdxdy)()()()()(，（2.7）以（2.7），（2.6）代入2.1，得到)()()()()()()()()(xQexcxpexPxcedxxdcdxxpdxxpdxxp，（2.8）即dxxpexQdxxdc)()()(，积分后得到c（x）=cdxexQdxxp)()(,(2.9)这里c是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解))(()()(cdxexQeydxxpdxxp(2.91)在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c变成c(x),常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解,感觉这个方法之所以用x的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C是任意的，C与x形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数线性齐次方程022qydxdypdxyd（3.1）其中p、q是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxyd，dxdy，y各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，其22dxyd，dxdy，y之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(3.1)的特解，在初等函数中，指数函数erx，符合上述要求，于是我们令y＝erx(其中r为待定常数)来试解将y＝erx，dxdy＝rerx，22dxyd＝r2erx代入方程(3得r2erx＋prerx＋qerx＝或erx（r2＋pr＋q）＝因为erx≠0，故得r2＋pr＋q＝由此可见，若r是二次方程r2＋pr＋q＝0(3的根，那么erx就是方程(3.1)的特解，于是方程(3.1)的求解问题，就转化为求代数方程(3.2)的根问题。称(3.2)式为微分方程(3.1)的特征方程。特征方程(3.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(3.2)有两个不相等的实根r１，r2，此时xre1，xre2是方程(3.1)的两个特解。因为xrxree21=xrre)(21常数所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(3.1)的通解为xrxrececy2121(2)若特征方程(3.2)有两个相等的实根r1＝r2，此时p2－4q＝0，即有221prr,这样只能得到方程(3.1)的一个特解xrey11，因此，我们还要设法找出另一个满足12yy常数，的特解y2，故12yy应是x的某个函数，设uyy12，其中u＝u(x)为待定函数，即xrueuyy112对y2求一阶，二阶导数得xrxrxreurdxduueredxdudxdy111)(112xredxuddxdururdxyd1)2(22121222将它们代入方程(7.1)得0)()2(111122121xrxrxrqueeurdxdupedxuddxdurur或0])()2([1121122xreuqprrdxduprdxud因为01xre，且因r1是特征方程的根，故有21r＋pr１＋q＝0，又因21pr故有2r1＋p＝0，于是上式成为022dxud显然满足022dxud的函数很多，我们取其中最简单的一个u(x)＝则y2＝xe是方程(3.1)的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(3.1)的通解是xrxrxrexccxececy111)(2121(3)若特征方程(3.2)有一对共轭复根r1＝α＋iβ，r2＝α－此时方程(3.1)有两个特解y1＝e(α＋iβ)x2＝e（α－iβ）xy＝c1e（α＋iβ）x＋c2e（α－iβ）其中c1，c2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－有21(eix＋e－ix)＝21(y1＋y２)＝21eαx(eiβx＋e－iβx)＝eαxi21(y1－y2)＝i21eαx(eiβx－e－iβx)＝eαx由上节定理一知，21(y1＋y2)，21(y1－y2)是方程(3.1)的两个特解，也即eαxcosβx，eαxsinβx是方程(3.1)的两个特解：且它们线性无关，我们已知，方程(3.1)的通解为y＝c1eαxcosβx＋c2eαxi21(eix－e－ix)＝或y＝eαx(1ccosβx＋2c其中c1，c2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(3.2)复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(3.1)的通解，只须先求出其特征方程(3.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下特征方程r2＋pr＋q＝0的根微分方程022qydxdypdxyd的通解有二个不相等的实根r1，r2xrxrececy2121有二重根r1＝r2y＝(c1＋c2x)xre1有一对共轭复根irir21y＝eαx(c1cosβx＋c2sinβx)在解决二阶常系数线性微分方程的解的问题中，我们用到了一个转换，也就是令rxey，那我们为什么会想到它呢？为什么要用它不用其它的呢？首先观察微分方程022qydxdypdxyd，由4个部分构成，22dxyd，p与dxdy相乘，q与y相乘，然后相加等于0，我们可以观察到他们的特点就是22dxyd，dxdy，y都是与常数因子相乘，然后相加等于0，如果能找到一个函数y，其22dxyd，dxdy，y之间只相差一个常数因子，综合我们以前所学过的知识，一个函数的一阶，二阶倒数和该函数只相差一个常数，这样的函数有可能是方程(3.1)的特解，在初等函数中，我们所学过的指数函数erx，就符合上述要求，于是我们令rxey，从而进行下去，得到了结果。求二阶常系数线性非齐次方程＋p＋qy＝f(x)(3.3的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(3.3)的一个特解。方程(3.1)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。一．f(x)＝pn(x)eαx，其中pn(x)是n次多项式，我们先讨论当a0时，即当f(x)＝pn（x）时方程)(22xpqydxdypdxydn)(3.4的一个特解。(1)如果q≠0，我们总可以求得一n次多项式满足此方程，事实上，可设特解y~＝Qn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an，其中a0，a1，…an是待定常数，将y~及其导数代入方程(3.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，…an。例1.求32222xydxdydxyd的一个特解。解自由项f(x)＝x2－3是一个二次多项式，又q＝2≠0，则可设方程的特解为2120~axaxay求导数102~axay02~ay代入方程有20ax2＋(20a＋21a)x＋（20a＋a1＋2a２）＝x2－3比较同次幂系数解得所以特解y~＝21x2－21x－47（2)如果q＝0，而p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时y~＝Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n＋1)次多项式所满足，此时我们可设y~＝xQn(x)＝a0xn＋1＋a1xn＋…＋an代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a0，a1，…an。例2.求方程234222xdxdydxyd的一个特解。解自由项f(x)＝3x2＋2是一个二次多项式，又q＝0，p＝４≠0，故设特解xaxaxay2130~求导数212023~axaxay1026~axay代入方程得120ax2＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数解得所求方程的特解xxxy321916341~23(3)如果p＝0，q＝0，则方程变为2~y＝pn(x)，此时特解是一个(n＋2)次多项式，可设y~＝x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。下面讨论当a≠0时，即当f(x)＝pn(x)eαx时方程)(~2xpqydxdypyneαx(3的一个特解的求法，方程(3.4)与方程(3.5)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子eαx，如果能通过变量代换将因子eαx去掉，使得(3.5)化成(3.4)式的形式，问题即可解决，为此设y＝ueαx，其中u＝u(x)是待定函数，对y＝ueαx，求导得dxdyaxaxauedxdue求二阶导数axaxaxueadxduaedxudedxyd222222代入方程(3.5)得axaxaxqueaudxdupeuadxduadxude][]2[222＝pn(x)eαx消去eαx得)()()2(222xpuqpaadxdupadxudn(3由于(3.6)式与(3.4)形式一致，于是按(3.4)的结论有：(1)如果02qpaa，即a不是特征方程r2＋pr＋q＝0的根，则可设(3.6)的特解u＝Ｑn(x)，从而可设(3.5)的特解为y~＝Qn(x)eαx(2)如果02qpaa，而02pa，即α是特征方程r2＋pr＋q＝0的单根，则可设(3.6)的特解u＝xQn(x)，从而可设(3.5)的特解为y~＝xQn(x)axe如果02qpar，且02pa，此时a是特征方程r2＋pr＋q＝0的重根，则可设(3.6)的特解u＝x2Qn(x)，从而可设(3.5)的特解为y~＝x2Qn(x)axe例3.求下列方程具有什么样形式的特解(1)xeydxdydxyd32265(2)xe