微分中值定理的探讨与应用答辩

COMPANYLOGO微分中值定理的探讨与应用TheStudyandapplicationofthedifferentialmeanvaluetheorem学生：文胜（1022010114）指导老师：赵春艳1、微分中值定理的研究背景2、给出了几个微分中值定理及其推广形式3、采用多种方法对几个微分中值定理给予证明4、讨论几个微分中值定理在其条件推广和缺失的情况下对其结论的影响5、探讨几个微分中值定理之间以及它们几何意义之间的联系6、对微分中值定理的应用进行探讨目录上海理工大学本科毕业设计（论文）一、微分中值定理的研究背景上海理工大学本科毕业设计（论文）微分中值定理的发现至今已有三百多年，但仍然有众多的学者去探讨它，那是因为微分中值定理是微分学的核心定理，也是研究函数的重要工具。我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常需要把握函数在某区间的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正好对这一问题进行了有力的诠释。二、微分中值定理罗尔定理上海理工大学本科毕业设计（论文）拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理拉格朗日定理证法一：构造函数()()()()fbfaxafaba()()gxfx满足罗尔定理,则有(,),ab'()0g使上海理工大学本科毕业设计（论文）三、微分中值定理的证明罗尔定理证明方法：因为在闭区间上连续，必有最大值和最小值，只需讨论最大值与最小值的关系，若相等，则必成立，若最大值大于最小值，则可用费马定理加以证明。f],[ba柯西中值定理])([)()()()()()(BxgagbgafbfAxfxF证法一：构造辅助函数作差之后，发现满足罗尔定理，证明方法类似Lagrange中值定理。)(xF上海理工大学本科毕业设计（论文）证法二：行列式法构造辅助函数111)()()()(xbaxfbfafxF上海理工大学本科毕业设计（论文）证法二：用逆向分析的方法令)()()()()()()(xgxfagbgafbfxG证法三：构造辅助函数111)()()()()()()(Gxgbgagxfbfafx小结：拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明都有个相似之处，均可采用先构造辅助函数，再讨论所构函数满足罗尔定理的几个条件来加以证明.四、微分中值定理的推广定理1：设函数满足（1）在上连续；（2）在内可导；（3），则至少存在一点，使得)(xf),[a),(a)()(limafxfx),(a0)(f定理2：设函数满足（1）在上连续；（2）在内可导；（3），则至少存在一点，使得)(xf),(),()(lim)(limxfxfxx),(0)(f上海理工大学本科毕业设计（论文）推广一将函数的有限区间推广到无限区间定理3：设函数满足（1）在上连续；（2）在内可导；（3），则至少存在一点，使得)(xf),[a),[aMxfx)(lim),(2)1()()(aafMf上海理工大学本科毕业设计（论文）推广二将单个函数推广到任意有限个函数.定理4：设)(),(),(21xfxfxfn],[ba(1)函数在闭区间上连续；(2)函数在开区间内可微；)(),(),(21xfxfxfn),(ba上海理工大学本科毕业设计（论文）(3).,2,1),()(nibfafii),(ba则在内至少存在一点，使得njijjjiifafbfafbf1,0)(]1)()()()([定理4：设函数均在闭区间上连续，在开区间内阶可导，则对，至少存在一点，使得)3(),(,),(),(21nxfxfxfn],[ba),(ba2nbaaaaann1221),(ba0)()()()()()()()()()()()()2(1)2(212)2(1112222111211nnnnnnnnnnfaffaffafafafafafafaf五、微分中值定理之间的联系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbf()gxx)()(afbf()gxx费马引理结论：我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。上海理工大学本科毕业设计（论文）罗尔定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义：六、微分中值定理的几何意义上海理工大学本科毕业设计（论文）柯西中值定理的几何意义：小结：三个微分中值定理正是在这几何特征在不同的条件(主要是曲线方程的不同)下分析表述的结果,由此微分学的三个中值定理便由一条曲线串在一起,其内在联系更加清晰了。上海理工大学本科毕业设计（论文）七、微分中值定理的应用1、讨论函数的单调性例：求证关于单调减少。证：令.利用微分中值定理所以，即单调减少。1)1(1nnn1,)1(1)(]ln)1)[ln(1(1xexxfxxxx1],1ln)1[ln()(]ln)1)[ln(1(xxxxexfxxx)1,(),11()(xxxxf0)(xf1)1(1nn上海理工大学本科毕业设计（论文）2、利用微分中值定理来证明不等式例：如果,证明:.证：令，在闭区间上连续,在开区间内可导,应用拉格朗日中值定理,则有；由于在闭区间上,有所以.0xxxxx)1ln(1()ln(1)fxx()fx]1,0[)1,0(),0(,1)1ln()1ln(xxx],0[x11xxxxln(1)1xxxx(0)x.上海理工大学本科毕业设计（论文）3、利用微分中值定理来求极限上海理工大学本科毕业设计（论文）例：求极限.解：取，对在与所构成的区间上应用拉格朗日中值定理：所以xxxxxsintan)tan(sin)tan(tanlim0)tan,(sin,tan)(xxtttf)(tfxsinxtan)sin(tansec)sin(tan)(tan)tan(sin)tan(tan2xxxxtxxt)tan,(sin1seclimsintan)tan(sin)tan(tanlim200xxxxxxx，4、利用微分中值定理来讨论函数的敛散性上海理工大学本科毕业设计（论文）例证明正项级数收敛.证：作辅助函数，则.当时，在上使用中值定理，有于是而收敛，即正项级数收敛.)0(11nnnSaxxf1)(1)(xxf2n],[1nnSS),(),()()(111nnnnnnnnSSfSSSfSf).11(1111nnnnnnSSaSa21)11(1nnnSS)0(11nnnSa5、利用微分中值定理来讨论函数的性态上海理工大学本科毕业设计（论文）例7.7.2若函数在可导，且对一切，有，其中是正常数，则在上一致连续.证明：，，,且有（在与之间使用拉格朗日中值定理，其中）,所以，在上一致连续.)(xf),0[),0[xMxf)(M),0[)(xf001M),0[,21xx21xx1)()()(212121MMMxxMxxfxfxf1x2x),(21xx)(xf),0[上海理工大学本科毕业设计（论文）6、推广微分中值定理的应用例设函数，证明：，使得证：函数在内可导，且由推广定理2知：事实上，令，有2)(xxexf),(.0)(f)(xf),(22lim0limxxxxxexe.0)(f0)(f),(220)21()(22xxexfx六、总结微分中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。本文通过对微分中值定理的简单证明、关系讨论、条件推广以及其在数学分析中解题时的应用进行了归纳整理和举例说明，扩大了微分中值定理的应用范围，增强了其实际应用价值，并让我们更进一步理解微分中值定理，也使新知识在原有基础上得到巩固和深化，并使学者能够灵活运用所学的知识，探索新问题的解决途径，从而达到拓宽思路，提炼和升华思维，建构起自己的知识体系。上海理工大学本科毕业设计（论文）上海理工大学本科毕业设计（论文）