复摆法求转动惯量

Ⅲ基础物理实验–59–图4-1单摆原理实验4用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；3．学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1（单摆球的质量为m）当球的半径远小于摆长l时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：01212Sinlgdtd(4-1)式中t为时间，g为重力加速度，l为摆长。当1（rad）很小时，11sin(4-2)则（4-1）式可简化为：01212lgdtd（4-3）令lg21(4-4)（4-3）式的解为：)sin(1101t（4-5)式中10，由初值条件所决定。周期glT21（4-6）–60–Ⅲ基础物理实验图4-2物理摆(复摆)2．物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2，设物理摆的质心为C，质量为M，悬点为O，绕O点在铅直面内转动的转动惯量为0J，OC距离为h，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为sin220MghdtdJ(4-7)令02JMgh（4-8）仿单摆，在很小时，（4-7）式的解为：)sin(t(4-9)MghJT02(4-10)设摆体沿过质心C的转动惯量为CJ，由平行轴定理可知：20MhJJC(4-11)将（4-11）代入（4-10）可得：ghMghJTC2（4-12）(4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T和（4-13）式右端各参变量之间的关系。实验就是围绕（4-12）式而展开的。因为对任何CJ都有CJ∝M，因此（4-13）式的T与M无关，仅与M的分布相关。令2MaJ，a称为回转半径，则有ghghaT2（4-13）①一次法测重力加速度gⅢ基础物理实验–61–由（4-12）式可得出MhMhJgC)(422（4-14）测出（4-14）右端各量即可得g；摆动周期T，用数字计时器直接测出，M可用天平称出，C点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，CJ可以计算出。②二次法测g一次法测g虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，CJ就难以确定，为此采用如下“二次法”测g：当M及其分布（C点）确定以后，改变h值，作两次测T的实验，运用（4-13）式于是有1212214MghMhJTC2222224MghMhJTC即0442122211MhJTMghC(4-15)0442222222MhJTMghC(4-16)联立解（4-15）、（4-16）式，可得出222211222124ThThhhg（4-17）这样就消去了CJ，所以（4-17）测g就有着广泛的适用性。从（4-17）式，更可十分明确地看到T与M的无关性。虽然，任意两组（1h,1T），（2h,2T）实测值，都可以由（4-17）式算出g；但是，对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（h,T）数据，使能得出最精确的g的实测–62–Ⅲ基础物理实验结果呢？为此必须研究T（h）关系：将（4-12）式平方，于是可得出ghMghJTC224（4-18）从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：当h趋于0时T→∞，当h→∞，T亦趋于∞；可见在h的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对（4-18）作一次求导并令其为0；即由,0dhdT可得012gMghJC（4-19）22MaJMhC（4-20）即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h=a处所相应的T为极小值（为什么？）。（注意：体会称a为回转半径的含义）将（4-13）式取二次导数为研究T（h）关系特在0.6m长的扁平摆杆上，间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔以作为O点的Hi值（i=±1，±2，±3，……±14）于是可得出如图4-3所示的曲线。在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，交图线于C，D，E，F四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（hD+hE）=hC+hF被称为等值单摆长。为理解这一点，将（4-17）式的T1与TE（或TD）对应，T2与TF（或TC）对应，h1为与T1对应图4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系Ⅲ基础物理实验–63–的hE，h2为与T2对应的hF，并将(4-17)式改形为：)(2)(242122212122212hhTThhTTg（4-22）（4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从（4-22）可知，当T1=T2（=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（hE+hF）、（hC+hD）为等值单摆长。从（4-20）式可知：OB=OA=a；而aX2=hE+h1从图4-3可知，A，B二共轭点为T（h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算g则将引起较大的误差。所以欲取得精确的g的测量值，就只能取最大的F点和相应的E点来计算g值。因孔的非连续性，E只能取TE近乎于TF的点代入（4-22）式。还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的g，但运行在TB（或TA）值下的摆，其性能最稳定。③可倒摆为提高测g的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是TC（即T1），TF（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。但曲线的形状依归。所以，用此时的T（=TF=TC）和h1（=hC），h2（=hF）按（4-22）式来计算出g。当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用TC≈TF的实测值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（T1–T2）很小，而（h1–h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1的值然后逐渐减h2直至T2小于T1为止。将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）式就称为可倒摆计算式。摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。④锤移效应a．加锤摆的摆动周期Tm设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M，质心为C（设为坐标原点），摆心为O，CO距离为h，质心C处与摆心O处沿OZ轴的转动惯量为CJ、OJ。以上条件皆固定不变。然–64–Ⅲ基础物理实验图4-4加锤摆后再加一个圆柱形的摆锤，锤的回转半径为r，质量为m；正轴与上述各轴平行。锤移动沿CO方向为+X。置锤于X处，如图4-4所示。摆的总质量为M′mM(4-23)质心变为C′，由一次矩平衡原理可得出)/(mMXmCC(4-24)所以新的摆长h′=h–CC)/(mMXmh(4-25)由平行轴定理，可得J0′2222)(XhmmrMhMa(4-26)设重力加速度g已知（不变），则带锤的摆动方程式仿（4-7）、（4-10）式为：（动量矩定理）sin)]/([)(0mMXmhgmMJ(4-27)ⅰ.加锤摆的周期公式Tm为：)()()(][22222xmMmhgmMxhmmrMhMaTm（4-28）在研究锤移效应时，令（固定不变）：222mrmhMaC(4-29)gmMk)((4-30)所以有)()(22xmMmhkxhmCTm（4-31）此式的特点：▲它与无锤摆的形式相似，即原T（h）关系与现在Tm（X）关系相似，（此时h为固定常数）Ⅲ基础物理实验–65–▲由于X的取向等原因，所以Tm（X）相当于图4-3曲线的左叶，Tm（X）的渐近线为0XmMmh，即hmmMX时，Tm→∞而X的负向则为，X→－∞，Tm→＋∞注：hmmMX，则Tm为复数（无意义）▲它也存在着极（小）值所以应由0)(dXXdTm（4-32）dXdfdfdTmdXdTm令)()(2XXmmhkXhmcf所以有0)()())()((2212XMMmhkXhmcdXdXmMmhkXhmc令2)(XhmCU,XmMmhV,代入2)(vXduvdXdvudXvud可得0)()()]([)1()](2)[(2XmMmhmMmXhmCXhmXmMmh（4-33）0)2()1()22()(22mXmhXmhcmMmmXmhXmMmh])(2[22222mMmhcmmhmhXXmMXm=0X=mMmmMmhcmmhmMmmhmh222222])(2[4)2(2–66–Ⅲ基础物理实验分子，分母都除以2m（根号内除以4m2）得mMmmMmhcmmhmMhhX])(2[1222mmhcmmMmhhmMhmM)]()(2[)()(2222mhmmchmMmhhmMmhMhhmM222222222222)(mhMmchmM22)(（4-34）所以X一定有解，T有极值T（X）如前所述，T（X）函数与T（h）函数的性状是一样的，所以此极值也一定是极小；（以求22dxTd来判定，略去）ⅱ.零质量摆锤的周期（公式）Tm0将m=0代入公式（4-28），可得)0()0()(0]0[2220XaMhgMXhMhJTCmhgMMhJC22hTghgha22(4-35)Th意义就是与X平行的，值为Th的T（X）函数线。Th也就是无锤摆在CO=h时的摆动周期值，这也就是研究T（X）时为什么X的取向，原点都与原来的T（h）的h取向、原点为一致的原因，而另取一个有别于h的符号X是为了讨论、理解得方便。理解这一点是弄明下一点的前提。ⅲ.周期Tm与Th（即m=0时的Tm）的交点，即有Tm=ThⅢ基础物理实验–67–也就是令（4-28）式与（4-13）式相等，于是有：ghgha22)()()(22222XmMmhgmMXhmmrMhMa（4-36）ghha22)()()(2222XmMmhgmMXhmmrMhMaghha22])[(222222mXhmMgmXmhXmhmrMhMa0)()(22222ramhXahmmhX所以0)()(22222rahXahhX解得2)(4)()(2222rahahhahX（4-37）上式如下特点：▲它与m无关。即锤的结构、形状相同（r相同）而密度（即质量）不同的摆锤，在X处摆的周期T相等。▲它在ra条件下有两个实根。▲当r2222224)(hahah（4-38）即虽然它与锤质量无关，但它与质量的分布（回转半径r）相关，且r满足（4-38）式时，无解。▲当rhahah2)(422222（4-39）时退化为只有一个解：hahX222（4-40）–68–Ⅲ基础物理实验ⅳ.回到物理摆的周期公式（4-12）式或（4-13）式，在摆杆质心点当有类似情况。▲当m≠0而r→0的质点锤置于摆杆的质心C处时，并且悬挂点于a处。▲当m≠0，m变则T变，这与由（4-37）式算出的X处r不变T变，m变而T为不变是有所不同的。ⅴ.（钟表摆的）T的微调▲远离于C，X1，X2；▲调摆锤（或平衡锤——亦可称之为摆的“平衡”锤）的质量或其质量的分布。移动平衡锤。三、实验内容与步骤安装、调节好仪器以后：1．测出无锤摆杆的T（H）关系；（可只测半截摆杆的）2．测出两个加锤摆的T1（X），T2（X）关系；两摆锤的形状、尺寸须相同，而质量不同；3．然后按原理所述，进行数据处理。数据表格自列。四、注意事项1．摆幅A须小于1°，按R=0.3m（21摆杆）+0.03m(摆针)=330